Рассмотрим две соседние стороны ромба, пересекающиеся под углом $\theta$ (в задаче $\theta =60^{\circ }$). Введём декартову систему так, чтобы одна из этих сторон была осью $Ox$ (уравнение $y=0$), а вторая проходила через начало под углом $\theta$. Тогда для точки $P(x,y)$ (внутри угла) перпендикулярные расстояния до этих прямых равны
$$d_1=|y|=y,d_2=|-\sin \theta x+\cos \theta y|=-\sin \theta x+\cos \theta y,$$ и сумма (без модулей, с учётом знаков внутри угла) равна
$$S=d_1+d_2=(1+\cos \theta )y-\sin \theta x.$$ Условие «сумма расстояний постоянна, $S=k$» даёт уравнение прямой
$$-\sin \theta x+(1+\cos \theta )y=k,$$ то есть для фиксированного $k$ locus — прямая. Для разных $k$ получаем пучок параллельных прямых (производящееся смещением по нормали).
Для конкретного случая $\theta =60^{\circ }$ ($\sin 60=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60=\frac{1}{2}$) имеем
$$-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=k\iff -\sqrt{3}x+3y=2k.$$ Направление этих прямых задаётся соотношением
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\tan \frac{\theta }{2},$$ для $\theta =60^{\circ }$ это $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, все такие прямые параллельны биссектрисе угла (для 60° — под углом $30^{\circ }$ к одной из сторон).
Свойства и геометрическая интерпретация в ромбе:
- Для фиксированной константы $k$ пересечение этой прямой с внутренностью ромба даёт отрезок (локус точек внутри ромба).
- По мере изменения $k$ эти отрезки образуют семейство параллельных полос, заполняющих ромб (значения $k$ ограничены интервалом, соответствующим пересечениям с границей ромба; при $k=0$ отрезок вырождается в вершину, где стороны пересекаются).
- Расстояние между двумя уровнями $k_1$ и $k_2$ равно
$$\frac{|k_1-k_2|}{\Vert n\Vert },n=(-\sin \theta ,1+\cos \theta ),$$ то есть для $\theta =60^{\circ }$ длина нормали $\Vert n\Vert =\sqrt{3}$, и расстояние между уровнями равно $|k_1-k_2|/\sqrt{3}$.
- Концы каждого отрезка лежат на двух сторонах ромба, не входящих в выбранную пару (то есть на «противоположных» сторонах относительно вершины, где берутся две соседние стороны).
Итог: множество точек внутри ромба, для которых сумма расстояний до двух соседних сторон равна заданной постоянной, представляет собой отрезок прямой, и все такие отрезки для различных постоянных образуют семейство параллельных прямых, параллельных биссектрисе соответствующего угла (в случае угла $60^{\circ }$ — направлению $30^{\circ }$).