Коротко: геометрическое место центров — пересечения бисекторных плоскостей пар заданных плоскостей, в общем случае дающие несколько прямых, проходящих через общую точку пересечения трёх плоскостей; углы между плоскостями определяют направления этих прямых (внутренние/внешние биссектрисы трёхгранного угла). Ниже формулировка и рассуждение.
Пусть три плоскости заданы уравнениями
$${\pi }_i:u_i\cdot x+c_i=0,i=1,2,3,$$ где $u_i$ — единичные нормали, $x\in {\mathbb{R}}^3$. Центр шара $X$ радиуса $r\ge 0$ касается ${\pi }_i$ тогда и только тогда, когда
$$|u_i\cdot X+c_i|=r(i=1,2,3).$$
1) Фиксируем выбранные знаки касания $s_i=\pm 1$ (т.е. выбираем по какой стороне каждой плоскости лежит центр). Тогда
$$u_i\cdot X+c_i=s_{i}r,i=1,2,3.$$ Запишем в векторной форме $UX+c=sr$, где $U$ — матрица с строками $u_i^{\top }$, $c=(c_i)$, $s=(s_i)$. Если в общем положении векторы $u_1,u_2,u_3$ линейно независимы (типичная ситуация), то $U$ невырождена и система даёт единственную зависимость
$$X=-U^{-1}c+r{U}^{-1}s.$$ Обозначим $P=-U^{-1}c$ (это точка пересечения трёх плоскостей) и $v=U^{-1}s$. Тогда для фиксированной комбинации знаков центр описывается прямой
$$X=P+rv,r\ge 0.$$ Таким образом для каждой комбинации $s$ получается прямая через $P$. Комбинации $s$ и $-s$ дают одну и ту же прямую с противоположным направлением, поэтому максимально различимых прямых — 4 (соответствуют внутренним/внешним биссектрисам трёхгранного угла).
2) Геометрический смысл: условие равных абсолютных расстояний к паре плоскостей означает принадлежность центров плоскости-биссектрисе этой пары; пересечение двух выбранных бисектрис даёт прямую (через точку пересечения исходных плоскостей). Каждая из ≤4 прямых — это ось (внутреняя или внешняя) трёхгранного угла, вдоль которой смещая центр пропорционально растёт радиус.
3) Влияние углов между плоскостями:
- Направления векторов $v=U^{-1}s$ зависят от углов между нормалями $u_i$, поэтому при изменении углов меняются направления прямых (биссектрис).
- При симметричных углах (например три плоскости взаимно перпендикулярны) направления просты и симметричны (напр., оси через вершину ортонормированной триады).
- Вырожденные случаи: если какие‑то плоскости становятся параллельными или два нормали теряют линейную независимость (матрица $U$ вырождена), поведение меняется — может не быть общей точки $P$ или число и тип решений изменится (например линии смещаются в параллельные семейства или решений может не быть).
Короткий итог: в общем положении (три плоскости пересекаются в одной точке) множество центров — объединение до 4 прямых, исходящих из точки пересечения; углы между плоскостями задают направления этих прямых (внутренние/внешние биссектрисы трёхгранного угла).