Утверждение (2D). Точки $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ коллинеарны тогда и только тогда, когда векторы $AB$ и $AC$ пропорциональны, то есть выполняется одно из эквивалентных условий:
1) дробное (при ненулевых знаменателях)
$$\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_1};$$
2) определитель равен нулю
$$\det \left(\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& y_2-y_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1\end{array}\right)=0,$$ то есть
$$(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)=0.$$
Краткое доказательство. Если $AB$ и $AC$ пропорциональны, то существует $\lambda \in \mathbb{R}$ с $AC=\lambda AB$. По координатам получается система
$$x_3-x_1=\lambda (x_2-x_1),y_3-y_1=\lambda (y_2-y_1),$$ откуда при ненулевых знаменателях следует дробное равенство; при общем подходе это эквивалентно равенству определителя нулю. Обратное направление: равенство определителя означает линейную зависимость двух векторов, значит они пропорциональны и точки лежат на одной прямой.
Обобщение (3D и nD). Для точек в пространстве $A,B,C\in {\mathbb{R}}^n$ условие коллинеарности эквивалентно существованию скаляра $\lambda$ такого, что
$$AC=\lambda AB.$$ Компонентно это даёт систему равенств
$$\frac{x_{2,i}-x_{1,i}}{x_{3,i}-x_{1,i}}=\lambda \text{(для всех i с ненулевыми знаменателями)},$$ или более корректно: все попарные 2×2-миноры матрицы с колонками $AB$ и $AC$ равны нулю. В 3D эквивалентное условие: векторное произведение равно нулю,
$$AB\times AC=0.$$
Замечания по частным случаям:
- Если некоторые компоненты $x_{3,i}-x_{1,i}$ равны нулю, сравнение дробей требует осторожности — используют либо параметрическое представление
$$C=A+t(B-A)$$ для некоторого $t$, либо равенство всех 2×2-миноров/векторное произведение/определитель, которые корректно учитывают нулевые компоненты.
Итого: коллинеарность трёх точек эквивалентна пропорциональности векторов $AB$ и $AC$; в координатной форме это либо равенство соответствующих дробей (при допустимых знаменателях), либо равенство соответствующих детерминантов/миноров нулю.