Нужны ещё три независимые скалярные величины (т.е. всего 6 независимых параметров для тетраэдра). Эквивалентные удобные варианты дополнительных данных и доказательство:
1) Три длины рёбер противоположной вершине (т. е. стороны треугольника $ABC$): $AB,BC,CA$.
Доказательство: пусть $OA=a,OB=b,OC=c$ и векторы $u_1,u_2,u_3$ направлены от $O$ к $A,B,C$ соответственно, $|u_1|=a,|u_2|=b,|u_3|=c$. Тогда по теореме косинусов
$$A{B}^2=a^2+b^2-2(u_1\cdot u_2),B{C}^2=b^2+c^2-2(u_2\cdot u_3),C{A}^2=c^2+a^2-2(u_3\cdot u_1).$$ Отсюда выражаются скалярные произведения $u_i\cdot u_j$. Они задают матрицу Грама
G=(a2u1⋅u2u1⋅u3u1⋅u2b2u2⋅u3u1⋅u3u2⋅u3c2). G=\begin{pmatrix}a^2 & u_1\cdot u_2 & u_1\cdot u_3\\ u_1\cdot u_2 & b^2 & u_2\cdot u_3\\ u_1\cdot u_3 & u_2\cdot u_3 & c^2\end{pmatrix}.
G= a2u1 ⋅u2 u1 ⋅u3 u1 ⋅u2 b2u2 ⋅u3 u1 ⋅u3 u2 ⋅u3 c2 . Матрица Грама однозначно (с точностью до ортогонального преобразования — т.е. перемещения и поворота/зеркального отражения) определяет систему векторов $u_1,u_2,u_3$, а значит и тетраэдр. Необходимое условие — $G$ положительно определена (соответствующие неравенства/Кайли—Менгера).
2) Три угла между рёбрами в вершине $O$: $\angle AOB=\alpha ,\angle BOC=\beta ,\angle COA=\gamma$.
Доказательство: зная $a,b,c$ и углы, получаем скалярные произведения
$$u_1\cdot u_2=ab\cos \alpha ,u_2\cdot u_3=bc\cos \beta ,u_3\cdot u_1=ca\cos \gamma ,$$ далее как в пункте 1 — матрица Грама и однозначность до ортогонального преобразования.
3) Любой другой набор из трёх независимых скалярных условий, дающий те же три скалярных произведения (например: два противоположных ребра и один угол между двух из заданных рёбер), тоже однозначно задаёт тетраэдр при выполнении совместимости (положительная определённость $G$, неравенства треугольника и т. п.).
Краткое замечание о совместимости: выбранные дополнительные параметры должны удовлетворять геометрическим ограничениям (например, неотрицательности детерминанта Кайли—Менгера или положительной определённости матрицы Грама), иначе тетраэдр не существует.