Ниже — несколько эквивалентных формулировок теоремы Чевы, короткие доказательства и замечания по применимости (все выражения с дробями и тригонометрией записаны в KaTeX).
1) Классическая (дольная) форма.
Формулировка. Пусть в треугольнике $ABC$ точки $D\in BC$, $E\in CA$, $F\in AB$. Лучи (сечущие) $AD,BE,CF$ являются конкурентными (пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$
Доказательство (кратко, через площади). Обозначим через $[XYZ]$ площадь треугольника $XYZ$. Поскольку треугольники с общим основанием и одной высотой имеют площади пропорциональные основаниям, получаем
$$\frac{BD}{DC}=\frac{[ABD]}{[ADC]},\frac{CE}{EA}=\frac{[BCE]}{[AEA]}=\frac{[BCE]}{[CAE]},\frac{AF}{FB}=\frac{[CAF]}{[CBF]}.$$ Перемножая эти три равенства, правая часть сводится к отношению произведения шести малых треугольников, в котором каждый малый треугольник появляется один раз в числителе и один раз в знаменателе (при условии, что $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке), следовательно произведение равно $1$. Обратное направление доказывается тем же рассуждением в обратном порядке (если произведение равно $1$, то площади согласуются так, что линии пересекаются в одной точке). (При работе с точками на продолжениях сторон используют ориентированные отрезки — формула остаётся верной при выборе знаков.)
2) Тригонометрическая форма (Тригонометрическая Чева).
Формулировка. Пусть в треугольнике $ABC$ прямые $AD,BE,CF$ пересекают противолежащие прямые (стороны или их продолжения) в точках $D,E,F$. Тогда эти три прямые конкурентны тогда и только тогда, когда
$$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}\cdot \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA}\cdot \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}=1.$$
Доказательство (кратко). Предположим, что $AD,BE,CF$ пересекаются в точке $O$. В треугольниках $AOB$ и $AOC$ по теореме синусов
$$\frac{BO}{OC}=\frac{AB\cdot \sin \angle BAO}{AC\cdot \sin \angle OAC}.$$ Аналогично получаем два аналогичных выражения для отношений $CO/OA$ и $AO/OB$. Перемножив три равенства, члены $AO,BO,CO$ и стороны $AB,BC,CA$ сократятся, остаётся требуемое тождество с синусами. Обратное направление: из тождества с синусами можно восстановить отношения $BO:OC$, $CO:OA$, $AO:OB$ и показать, что есть точка $O$ с такими отношениями, значит прямые пересекаются в одной точке. Тригонометрическая форма удобна, когда известны углы, либо когда точки могут лежать на продолжениях сторон (ориентированные углы).
3) Барицентрическая / координатная форма (аналитический вариант).
Формулировка в координатах. Пусть точки $D,E,F$ делят стороны в (ориентированных) отношениях
$$\frac{BD}{DC}=x,\frac{CE}{EA}=y,\frac{AF}{FB}=z.$$ Тогда прямые $AD,BE,CF$ конкурентны тогда и только тогда, когда
$$xyz=1.$$
Короткое объяснение через барицентрические координаты: точка $D\in BC$ имеет барицентрические координаты $(0:1:x)$ (порядок соответствует $A:B:C$), аналогично $E=(y:0:1)$, $F=(1:z:0)$. Лучи $AD,BE,CF$ соответствуют уравнениям в барицентрических координатах; условие совместности (существование общего решения ненулевых координат) эквивалентно $xyz=1$. Аналогично можно привести чисто коорди­натное доказательство: поставить $A,B,C$ в удобные координаты, записать уравнения прямых и потребовать, чтобы третья прямая проходила через точку пересечения первых двух — в итоге выходит то же соотношение. Этот подход удобен в задачах с конкретными координатами, массами, центрами тяжести и при вычислениях.
4) Замечания о знаках и применимости.
- Ориентированные отрезки/площади/углы: формулы Чевы выполняются в «ориентированной» форме (с учётом знаков), что позволяет охватывать случаи, когда некоторые точки лежат на продолжениях сторон; стандартная беззнаковая формулировка с $=1$ обычно подразумевает, что все три точки лежат на соответствующих сторонах между вершинами.
- Когда использовать какую форму:
- Классическая дольная форма наиболее удобна для чисто синтетических задач, где известны отрезки или их отношения.
- Тригонометрическая форма — когда даны углы или отношения сторон выражаются через синусы (особенно в задачах с угловыми данными или при работе с внешними точками).
- Координатная / барицентрическая форма — когда задача рассчитана на вычисления, массы, центры, или удобно ставить координаты; даёт прямой алгебраический критерий конкуренции.
- В задачах с элементарной геометрией обычно сначала пытаются применить классическую или тригонометрическую Чеву; в вычислительных задачах и при массовых аргументах — барицентрические/координатные методы.
Итого: все три версии эквивалентны и приводят к одному простому критерию $\text{(произведение трёх отнош.)}=1$, выбор формы определяется типом данных задачи (отрезки, углы, координаты).