Кратко — построить описанную окружность можно тогда и только тогда, когда все пять вершин лежат на одной окружности (т.е. многоугольник цикличен). Алгоритм и обоснование:
Алгоритм
1. Выберите любые три вершины $A,B,C$, не лежащие на одной прямой. (В выпуклом ненулевом пятиугольнике такие три вершины существуют; если выбранные коллинеарны — возьмите другие.)
2. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку $\overline{AB}$ стандартным циркулем и линейкой (из точек $A$ и $B$ двумя одинаковыми радиусами провести дуги, соединить их пересечения — прямую, это серединный перпендикуляр). Аналогично постройте серединный перпендикуляр к $\overline{AC}$.
3. Обозначьте их пересечение $O$. Тогда $O$ — центр окружности, проходящей через $A,B,C$, и построьте окружность с центром $O$ и радиусом $OA$.
4. Проверьте, лежат ли оставшиеся вершины $D$ и $E$ на этой окружности (геометрически: посмотреть, попадают ли они на линию окружности; в конструктивной термичке — посмотреть, совпадает ли точка пересечения окружности с точкой $D$, или проверить равенство отрезков $OD$ и $OA$ построением окружности радиуса $OA$ и наблюдением попадания).
- Если оба лежат — построение успешно: получена описанная окружность.
- Если хотя бы одна не лежит — описанной окружности, проходящей через все пять вершин, не существует (пятиугольник нецикличен), никакой циркуль+линейка не даст такую окружность.
Обоснование
- Три неколлинеарные точки определяют одну единственную окружность; центр — точка пересечения серединных перпендикуляров двух соответственных хорд. Значит шаги 1–3 корректны и выполнимы циркулем и линейкой.
- Наличие описанной окружности для всех пяти вершин эквивалентно условию $OA=OB=OC=OD=OE$ для центра $O$. Проверка на шаге 4 именно это и устанавливает.
- Если тройка точек циклична, любая другая тройка из тех же вершин даст ту же окружность, поэтому достаточно одной тройки.
Особые (невыполнимые) случаи
- Если после построения окружности через любую тройку вершин хотя бы одна из оставшихся вершин не лежит на ней, то окружности, содержащей все пять вершин, не существует — задача невыполнима.
- Невозможны «альтернативные» центры: если окружность через $A,B,C$ существует, она единственна; нельзя подобрать другую окружность через те же три точки.
- Дегенерации: если какие‑то три вершины действительно коллинеарны (вырожденный случай), сначала выберите другую тройку; если все пять коллинеарны — описанной окружности не существует (и фигура не выпуклая в обычном смысле).
Дополнение (альтернативный выбор хорд)
- Вместо пары хорд, исходящих из одной вершины, можно взять две несмежные хорды, например $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$. Построив их серединные перпендикуляры и взяв их пересечение, получают тот же центр, при условии что хорды не параллельны (в противном случае берут другую пару). Этот вариант удобен, если не хочется опираться на одну вершину.
Вывод: конструкция выполняется ровно тогда, когда пентагон цикличен; алгоритм — построить окружность по любой тройке неколлинеарных вершин и проверить оставшиеся две.