Коротко и структурированно.
Модель преобразования. Пусть гомотетическое сжатие вдоль оси $x$ задаётся линейным отображением
$$S(x,y)=(sx,y),s>0(\text{обычно}s<1).$$
1) Медианы (и центр тяжести).
- Медиана идёт из вершины в середину противоположной стороны. Для отрезка с концами $P=(x_1,y_1),Q=(x_2,y_2)$ середина
$$M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}).$$ - Образ середины под $S$:
$$S(M)=(\frac{s{x}_1+s{x}_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})=\frac{S(P)+S(Q)}{2},$$ то есть середины сохраняются. Следовательно медиана любого треугольника переводится в медиану образа треугольника, а пересечение медиан (центроид) переходит в центроид образа.
2) Высоты (перпендикулярность).
- Перпендикулярность не сохраняется при неравномерном масштабировании. Если две прямые имели угловые коэффициенты $m_1$ и $m_2$ с $m_1{m}_2=-1$, то после преобразования их коэффициенты станут $m_1^{\prime }=\frac{m_1}{s}$, $m_2^{\prime }=\frac{m_2}{s}$ и
$$m_1^{\prime }{m}_2^{\prime }=\frac{m_1{m}_2}{s^2}=-\frac{1}{s^2}\ne -1(\text{при}s\ne 1).$$ - Следствие: образ высоты обычно не будет высотой в образе треугольника. Исключения — частные случаи (напр., все соответствующие направляющие векторы параллельны осям так, что сохранится перпендикулярность).
Пример: треугольник $A(0,0),B(2,0),C(0,2)$. Сжатие с $s=0.5$ даёт $B^{\prime }(1,0),C^{\prime }(0,2)$. Сторона $AB$ имела наклон $-1$, её образ имеет наклон $2$, а образ высоты уже не перпендикулярен образу стороны.
Формула через матрицу: для $S=\mathrm{diag}(s,1)$ внутренний скалярный продукт двух векторов $u,v$ после преобразования становится
$$(Su)\cdot (Sv)=u^T(S^{T}S)v,$$ где $S^{T}S=\mathrm{diag}(s^2,1)$. Поскольку $S^{T}S$ не пропорциональна единичной матрице, ортогональность не сохраняется.
3) Биссектрисы (деление угла пополам).
- Углы (и, соответственно, обычные биссектрисы) не сохраняются при неравномерном масштабировании, поэтому образ биссектрисы в общем случае не является биссектрисой образного угла.
- Формула через наклоны: если исходные наклоны сторон $m_1,m_2$, то угол между ними определяется через $\tan \theta =\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}$. После преобразования $m_i^{\prime }=\frac{m_i}{s}$, и
$$\tan {\theta }^{\prime }=\frac{\frac{m_2}{s}-\frac{m_1}{s}}{1+\frac{m_1{m}_2}{s^2}}=\frac{m_2-m_1}{s+\frac{m_1{m}_2}{s}},$$ что в общем не равно $\tan \theta$ при $s\ne 1$. Биссектриса же определяется условием равных углов и потому не инвариантна.
Доп. замечание: образ биссектрисы будет биссектрисой относительно нового «эллиптического» скалярного произведения, заданного матрицей $S^{T}S$: в метрике $u\ast v:=u^T(S^{T}S)v$ свойства «равных углов» для образа сохраняются. Но в евклидовой геометрии (обычный угол) — нет.
Краткое сводное резюме:
- Медианы и центроид: сохраняются (инвариантны относительно образа) при любом аффинном масштабировании.
- Высоты: в общем не сохраняются (перпендикулярность нарушается), сохраняются только в специальных симметричных случаях.
- Биссектрисы: в общем не сохраняются; сохраняются лишь в частных ситуациях или если учесть другую (неевклидову/матричную) метрику $S^{T}S$.