Задача. Для точки $X$ в плоскости треугольника $ABC$ рассматриваем функцию суммарного расстояния
$$f(X)=|XA|+|XB|+|XC|.$$ Ниже кратко сравниваются геометрический и аналитический подходы к доказательству локального и глобального минимума в трёх типах треугольников.
Общий факт (Теорема Ферма–Торричелли)
$$\{\begin{array}{l}\text{если все углы}<120^{\circ },\text{существует единственная внутренняя точка}F(\text{точка Ферма}),\\ \text{при которой}\angle BFC=\angle CFA=\angle AFB=120^{\circ },\text{и}F\text{даёт глобальный минимум;}\\ \text{если один угол}\ge 120^{\circ },\text{тогда минимум достигается в этой вершине.}\end{array}$$
1) Случай все углы $<120^{\circ }$ (в частности острый и прямой треугольники)
- Геометрический подход:
- Конструкция: построить внешние равносторонние треугольники на двух сторонах и провести соответствующие соединительные отрезки; их пересечение даёт точку Ферма $F$.
- Доказательство минимальности (вращение/разбиение): при повороте части треугольника на $60^{\circ }$ вокруг точки $F$ отрезки, соответствующие двум из слагаемых, укладываются в одну прямую, что даёт равенство сумм и показывает, что для любой другой точки $X$ справедливо
$$f(X)\ge f(F),$$ причём равенство только при $X=F$. Геометрически же условие стационарности формулируется как равенство углов $120^{\circ }$.
- Аналитический подход:
- Стационарность (первая вариация): для внутренней точки стационарная точка удовлетворяет векторному уравнению
$$\frac{X-A}{|X-A|}+\frac{X-B}{|X-B|}+\frac{X-C}{|X-C|}=0.$$ Это уравнение эквивалентно тому, что в точке $X$ пары лучей образуют углы $120^{\circ }$.
- Локальный минимум: уравнение даёт критическую точку; вторые вариации (или строгая выпуклость суммы норм) показывают, что эта критическая точка есть минимум.
- Глобальность и единственность: суммарная функция $f$ — сумма выпуклых функций $|X-A|,|X-B|,|X-C|$, потому $f$ выпукла; наличие единственной стационарной точки в выпуклом функционале даёт её глобальную минимальность и единственность.
2) Случай, когда один угол $\ge 120^{\circ }$ (тупой треугольник)
- Геометрический подход:
- Если, скажем, $\angle A\ge 120^{\circ }$, то точка Ферма внутри отсутствует (невозможно расположить три луча под углом $120^{\circ }$ в вершине с крупным углом). Геометрически видно, что для любой точки $X$ сумма расстояний не меньше значения в вершине A:
$$f(X)\ge f(A)=|AB|+|AC|.$$ Поэтому минимум достигается в вершине $A$.
- Конструкция и доказательство обычно делаются с помощью сравнения углов/треугольников или простых неравенств (всякое отклонение от $A$ увеличивает сумму за счёт большого «раскрытия» угла).
- Аналитический подход:
- Стационарного решения внутреннего уравнения
$$\sum _{P\in \{A,B,C\}}\frac{X-P}{|X-P|}=0$$ не существует, потому что три единичных вектора, исходящие из одной точки, не могут векторно сложиться в ноль, если один из углов между направлениями (соответствующий вершине с углом $\ge 120^{\circ }$) слишком велик.
- Следовательно экстремум достигается на границе; проверка значений в вершинах показывает минимальность вершины с углом $\ge 120^{\circ }$. Локально это видно и из знака направленных производных в вершине: для любой направления производная неотрицательна, значит вершина — локальный минимум; сравнение значений даёт глобальность.
3) Правый треугольник ($\exists$ угол $=90^{\circ }$)
- Правый треугольник подпадает под первую ситуацию, так как $90^{\circ }<120^{\circ }$. Следовательно существует внутренняя точка Ферма $F$ с углами $120^{\circ }$ и она даёт глобальный минимум. Геометрическая конструкция и аналитическое условие стационарности работают как в пункте 1.
Краткое сравнение методов
- Геометрический метод даёт конструктивное описание точки минимума (построение Ферма, доказательство через вращение или разбиение), интуитивно показывает почему углы $120^{\circ }$ и удобно для наглядных доказательств и исключения внутренней точки в тупом случае.
- Аналитический метод формулирует необходимое условие стационарности в виде векторного уравнения
$$\frac{X-A}{|X-A|}+\frac{X-B}{|X-B|}+\frac{X-C}{|X-C|}=0,$$ позволяет проверять локальность через вариации/выпуклость и однозначно выводить глобальность при отсутствии решений на границе; удобен для строгого анализа и обобщений (большее число точек, веса и т.п.).

Вывод: для всех острых и прямых треугольников минимальная точка — внутренняя точка Ферма с углами $120^{\circ }$ (геометрически строим и доказываем вращением; аналитически из суммы единичных векторов и выпуклости). Если есть угол $\ge 120^{\circ }$, минимальна соответствующая вершина (геометрически — нет возможности устроить $120^{\circ }$ внутри; аналитически — нет внутреннего стационарного решения).