Обозначения. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника $ABCD$. Через
$X_{AB},X_{BC},X_{CD},X_{DA}$ обозначим центры описанных окружностей треугольников $AOB,BOC,COD,DOA$ соответственно.
Утвержение. Точки $X_{AB},X_{BC},X_{CD},X_{DA}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда четырехугольник $ABCD$ симметричен относительно некоторой прямой $l$ (то есть либо имеет ось симметрии — симметричный «двугранник»: изом. трапеция или ромб/ки́т с осью симметрии по диагонали). Прямая $l$ тогда совпадает с общей прямой, на которой лежат центры.
Доказательство (схема, достаточно коротко).
1) Необходимость (симметрия $\Rightarrow$ коллинеарность).
Пусть $ABCD$ симметричен относительно прямой $l$. Тогда пары вершин $A,D$ и $B,C$ попарно симметричны относительно $l$, поэтому
- точка пересечения диагоналей $O$ принадлежит $l$;
- для каждой пары соседних вершин (например $A,B$) образующая описанную окружность треугольника $AOB$ имеет ось симметрии $l$: действительно, отражение по $l$ переводит треугольник $AOB$ в треугольник $DOA$ (или в самих себя при соответствующей симметрии), следовательно центр описанной окружности $X_{AB}$ лежит на $l$. Аналогично для остальных трёх центров.
Следовательно $X_{AB},X_{BC},X_{CD},X_{DA}\in l$.
2) Достаточность (коллинеарность $\Rightarrow$ симметрия).
Пусть все четыре центра лежат на одной прямой $l$. Центр $X_{AB}$ одновременно лежит на перпендикулярной к отрезку $AB$ (перпендикулярном биссекторе $AB$) и на перпендикуляре к $AO$ (перпендикулярном биссекторе $AO$). Аналогично для остальных центров. Из коллинеарности следует, что для каждой соседней пары вершин соответствующие перпендикулярные биссекторы «пересекают» одну и ту же прямую $l$ — это даёт равенства углов/расстояний, которые эквивалентны отражению вершин по $l$. Формально: рассмотрим отражение $r$ относительно $l$. Так как $l$ содержит центры описанных окружностей, отражение переводит окружность, описанную вокруг $AOB$, в окружность, описанную вокруг соответствующего соседнего треугольника, и потому отражение переводит вершины $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$. Значит $ABCD$ симметричен относительно $l$.
(Если требуется полная формализация: этот шаг разворачивается в проверку, что для любых двух соседних треугольников, скажем $AOB$ и $COD$, центры их описанных окружностей симметричны относительно $l$, откуда следует, что хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно $l$; далее это даёт симметрию всех вершин.)
Замечания и частные случаи.
- Тривиальные/вырожденные случаи: если все четыре цент­ра совпадают (в частности, если $O$ совпадает с центром общей окружности исходного четырехугольника), то условие коллинеарности выполняется, а четырёхугольник имеет соответствующую симметрию (например, прямоугольник с общей симметрией по двум осям даёт совпадения в частных позициях).
- В общем случае условие коллинеарности эквивалентно существованию оси симметрии четырехугольника; простые характеристики этого класса: это либо симметричная трапеция (одна ось симметрии, проходит через середины оснований и через точку пересечения диагоналей), либо ромб/ки́т с осью по одной диагонали и т. п.
Вывод. Необходимое и достаточное условие: центры описанных окружностей треугольников $AOB,BOC,COD,DOA$ коллинеарны тогда и только тогда, когда четырехугольник $ABCD$ имеет ось симметрии (т. е. симметричен относительно некоторой прямой).