Короткий ответ: искомая точка — центр масс (центроид) треугольника, пересечение медиан. Построение: построить середины двух сторон и провести медианы; их пересечение $G$ — искомая точка $P$.
Обоснование (быстро и строго):
- Целевое функциональное: $S(P)=P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2$.
- Пусть векторные координаты вершин — $A,B,C$, точка $P$. Раскрыв квадраты,
$$S(P)=|P-A{|}^2+|P-B{|}^2+|P-C{|}^2=3|P{|}^2-2P\cdot (A+B+C)+(|A{|}^2+|B{|}^2+|C{|}^2).$$ Это выпуклая квадратичная функция по $P$. Приравнивая градиент к нулю:
$$\nabla S(P)=2(P-A)+2(P-B)+2(P-C)=0⟹6P=2(A+B+C)⟹P=\frac{A+B+C}{3}.$$ То есть $P$ — среднее арифметическое координат вершин, т.е. пересечение медиан (центроид). Гелгезность нуля градиента плюс положительная определённость гессиана (${\nabla }^{2}S=6I$) гарантируют единственность и что это минимум.
Алгоритм построения (компас и линейка):
1. Построить середины двух сторон, например середины $M_{BC}$ и $M_{CA}$.
2. Провести медианы $A{M}_{BC}$ и $B{M}_{CA}$.
3. Их пересечение $G$ — искомая точка $P$.
Сравнение с решением через систему уравнений в координатах:
- В координатах задают $P=(x,y)$, минимизируют
$S(x,y)=\sum _{V\in \{A,B,C\}}((x-x_V{)}^2+(y-y_V{)}^2)$,
берут частные производные $\partial S/\partial x=\partial S/\partial y=0$ и получают линейную систему с решением
$$x=\frac{x_A+x_B+x_C}{3},y=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}.$$ - Оба подхода эквивалентны по сути. Геометрическое построение проще на практике (компас/линейка) и даёт мгновенно $P$. Координатный метод удобнее для обобщений (взвешенные суммы, большое число точек) и для вычислений на компьютере; он сводится к решению небольшой линейной системы.