Пусть $S_1,S_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$; обозначим их центры $O_1,O_2$. Утверждение: геометрическое место центров всех окружностей, касающихся обеих $S_1$ и $S_2$, равно объединению двух окружностей, проходящих через точки $A$ и $B$.
Доказательство (инверсия + идея радикальной оси). Возьмём инверсию с центром в $A$. Под этой инверсией окружности $S_1,S_2$, проходящие через $A$, переходят в две прямые $l_1,l_2$ (они пересекаются в образе $B$, обозначим его $B^{\prime }$). Любая окружность $S$, касающаяся обеих $S_1,S_2$ и не проходящая через $A$, перейдёт в окружность $S^{\prime }$, касающуюся прямых $l_1,l_2$. Центр $O^{\prime }$ окружности $S^{\prime }$ лежит на одной из двух биссектрис угла, образованного прямыми $l_1,l_2$, то есть на одной из двух прямых, проходящих через $B^{\prime }$.
Обратно, под обратной инверсией эти две биссектрисы (прямые, не проходящие через центр инверсии) переходят в две окружности, каждая из которых проходит через $A$ и $B$. Поэтому центры исходных окружностей $S$ — образы точек $O^{\prime }$ — лежат на одной из двух указанных окружностей. Частные случаи, когда касающаяся окружность проходит через $A$ или $B$, являются предельными и тоже даются точками на тех же окружностях.
Классификация по типам касания: одна из получившихся окружностей центра соответствует биссектрисе внутреннего угла (диапазону касаний одного типа: внешне—внешне или внутренне—внутренне), другая — внешней биссектрисе (смешанные типы касания). Замечание о радикальной оси: точки пересечения $A,B$ — это радикальная ось системы $S_1,S_2$, поэтому естественно работать с инверсией в одной из этих точек, что и использовано выше.
Итого: искомое геометрическое место — две окружности, проходящие через точки пересечения $A$ и $B$ окружностей $S_1$ и $S_2$.