Формулировка (проектно-обобщённая теорема Птолемея).
Пусть $ABCD$ — невырожденный выпуклый четырёхугольник. Выберем любую невырожденную конику $\Gamma$, проходящую через точки $A,B,C,D$ (такая коника существует и не единственна). Существуют проектное отображение $T$ плоскости, переводящее $\Gamma$ в окружность, и параметризация $t$ этой окружности (например, через проективную биекцию окружности с прямой), при которой образы точек обозначим $A^{\prime }=T(A),\dots ,D^{\prime }=T(D)$. Тогда для координат параметра $t(A^{\prime }),t(B^{\prime }),t(C^{\prime }),t(D^{\prime })$ выполняется классическая теорема Птолемея на окружности, эквивалентная равенству
$$|t(A^{\prime })-t(C^{\prime })|\cdot |t(B^{\prime })-t(D^{\prime })|=|t(A^{\prime })-t(B^{\prime })|\cdot |t(C^{\prime })-t(D^{\prime })|+|t(B^{\prime })-t(C^{\prime })|\cdot |t(A^{\prime })-t(D^{\prime })|.$$ Перенеся это равенство назад в исходную плоскость через $T^{-1}$, получаем проектно-инвариантную (в терминах выбранной $\Gamma$ и $T$) обобщённую форму Птолемея:
существуют ненулевые множители ${\mu }_{XY}$ (зависящие от выбора $\Gamma$ и $T$, по одному на каждую связующую отрезке пару вершин $X,Y\in \{A,B,C,D\}$), такие что
$${\mu }_{AC}{\mu }_{BD}|AC|\cdot |BD|={\mu }_{AB}{\mu }_{CD}|AB|\cdot |CD|+{\mu }_{BC}{\mu }_{AD}|BC|\cdot |AD|.$$ Это и есть проектное обобщение теоремы Птолемея для произвольного выпуклого четырёхугольника: равенство Птолемея сохранится после проективного отождествления коники с окружностью, но при обратном переходе длины «взвешиваются» факторами, зависящими от выбранного проектного отображения.
Краткое доказательство.
1) Через четыре данные невырожденные точки проходит по крайней мере одна невырожденная коника $\Gamma$ (семейство коник проходящих через четыре заданные точки имеет одномерный параметр).
2) В проективной геометрии любая невырожденная коника проектно эквивалентна окружности, т.е. существует проективное $T$ с $T(\Gamma )$ — окружность.
3) Применяя классическую Птолемея к четырёхугольнику $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }=T(ABCD)$ на окружности, получаем указанное равенство для координат/длины на образе.
4) Подставляя выражения длины образов через исходные длины (они отличаются множителями, зависящими от $T$ и от соответствующих линий), получаем указанный взвешенный вид равенства. Тем самым Ptolemy для образа эквивалентна взвешенному равенству для исходного четырёхугольника.
Ограничения и замечания.
- Равенство не является чисто евклидовским (т.е. без дополнительных множителей) для общего четырёхугольника: нужны веса ${\mu }_{XY}$, зависящие от выбора коники $\Gamma$ и проективного отображения $T$. Эти множители не каноничны.
- Если выбрать $\Gamma$ специально как окружность (т.е. если $ABCD$ уже вписан), то все ${\mu }_{XY}$ можно принять равными и получаем обычную теорему Птолемея.
- Выбор другой коники или другого $T$ даёт другие множители; следовательно равенство не даёт единственной «геометрически существенной» формулы без дополнительной структуры (выбора коники/параметра).
- Выражение с множителями остаётся верным только для невырожденной (неразложимой) коники; для вырожденной коники (две прямые) переход к окружности невозможен в том же смысле, и формула теряет смысл.
Контрпример (наглядный) — почему без весов не работает.
Возьмём, например, точки $A(0,0),B(2,0),C(3,1),D(0,1)$. Тогда
$$|AB|=2,|BC|=\sqrt{2},|CD|=3,|AD|=1,$$ $$|AC|=\sqrt{10}\approx 3.1623,|BD|=\sqrt{5}\approx \mathrm{2.2361.}$$ Тогда
$$|AC|\cdot |BD|\approx 7.071\text{и}|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|\approx 6+1.414=7.414,$$ то есть обычная (невзвешенная) равность Птолемея не выполняется; нужен немонотонный (зависящий от $T$) взвешивающий фактор.
Итого: проективное обобщение есть и формулируется так, что обычная Птолемея выполняется на образе четырёхугольника, лежащего на конике, а в исходных координатах это даёт эквивалентное «взвешенное» равенство с множителями, зависящими от выбора коники и проективной идентификации коники с окружностью.