Предположение (стандартное): даны длины медианы, биссектрисы и высоты, проведённых из одного и того же верха $A$: пусть $m=m_a$, $l=l_a$, $h=h_a$. Требуется постройка треугольника $ABC$ (основание $BC$) с циркулем и линейкой и обсуждение существования/единственности.
Ключевая идея. Положим ось $BC$ горизонтально, обозначим $M$ середину отрезка $BC$, $H$ — основание высоты, $L$ — точка пересечения биссектрисы с $BC$. Тогда $M,H,L$ лежат на одной прямой (оси $BC$), а нам заданы расстояния $AM=m$, $AH=h$, $AL=l$. Пусть координаты (относительно $M$) будут такие: $M=(0,0)$, $H=(u,0)$, $L=(x,0)$, $A=(u,h)$. Тогда
- $u$ и $x$ вычисляются однозначно (с точностью до знака) из данных $m,h,l$:
$$u=\pm \sqrt{m^2-h^2},x=u\pm \sqrt{l^2-h^2},$$ поэтому необходимо и достаточно для начала, чтобы
$$m\ge h,l\ge h.$$
Далее обозначим $a=BC$ и $p=\frac{a}{2}$. Из равенства отношений, задаваемого теоремой о биссектрисе (или равенством отношений отрезков на основании и соответствующих длин сторон) получаем после алгебраических преобразований простую формулу для $p^2$:
$$p^2=\frac{x(u^2+h^2-ux)}{u-x},$$ а значит
$$a^2=4\frac{x(u^2+h^2-ux)}{u-x}.$$ Это выражение даёт единственное значение $a$ (при фиксированных знаках для $u$ и выбора знака в $x$), при условии что правая часть положительна и $u\ne x$.
Конструкция (пошагово):
1. Проверить необходимые условия: $m\ge h$ и $l\ge h$. Если одно из них нарушено — решений нет.
2. Построить отрезы величин $u=\sqrt{m^2-h^2}$ и $s=\sqrt{l^2-h^2}$ стандартным образом (через прямоугольный треугольник: из отрезков $m,h$ и $l,h$ соответственно).
3. На выбранной прямой (будущей $BC$) отметить точку $M$ и точку $H$ так, чтобы $MH=u$ (две возможности: $H$ справа или слева от $M$).
4. На этой же прямой от точки $H$ отложить $HL=\pm s$ — получим две возможности для $L$. (Итого до четырёх комбинаций знаков: зеркальные варианты дают конгруэнтные треугольники.)
5. Построить точку $A$ как пересечение круга радиуса $m$ с центром в $M$ и перпендикуляра к прямой $BC$ через $H$ на расстоянии $h$ от $H$ (точка $A$ с координатами $(u,h)$).
6. Вычислить/построить (линейно и через подобие треугольников) величину $p=\frac{a}{2}$ по формуле
$$p^2=\frac{x(u^2+h^2-ux)}{u-x},$$ где $x$ — координата точки $L$ относительно $M$ (то есть $x=MH+HL$ с учётом знаков). Операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня конструктивно выполняются циркулем и линейкой (через подобие и пересечения окружностей).
7. Отложить на прямой $BC$ от $M$ числа $p$ влево и вправо; получатся точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.
Условия существования:
- обязательно $m\ge h$ и $l\ge h$;
- при выбранных знаках для $u$ и $x$ должно выполняться $p^2>0$ (равно тому, что правая часть формулы положительна) и дополнительно $p\ge |u|$ (чтобы $H$ лежал между $B$ и $C$). Если это не так — соответствующий выбор знаков даёт невозможное решение.
- специальный вырожденный случай: если $u=x$ (т.е. знаменатель ноль), то исходное уравнение допускает решение только при дополнительном совпадении параметров; как правило это вырожденные/особые конфигурации (зрело: либо нет решения, либо особая симметрия), и строится отдельно при необходимости. В общем случае $u\ne x$.
Единственность и количество решений:
- для каждого из двух знаков в $u=\pm \sqrt{m^2-h^2}$ и двух знаков в $x=u\pm \sqrt{l^2-h^2}$ формула даёт не более одного значения $a$. Значит потенциально может быть до четырёх конструктивных вариантов; однако зеркально симметричные варианты относительно медианы дают конгруэнтные треугольники, поэтому нет фактически более двух непригодных по симметрии неоднородных решений. На практике: обычно 0, 1 или 2 неконгруэнтных решений в зависимости от данных (часто — одно решение при естественном выборе знаков).
- нет решений, если условия существования не выполняются, либо вычисленный $a^2\le 0$.
Краткая сводка:
- Постройка возможна конструктивно (окружности, подобие, вычисление через формулу) при $m\ge h$, $l\ge h$ и положительном результате для $a^2$.
- В общем положении — конечное (обычно до 2 по неэквивалентности) число решений; при нарушении условий — решений нет; есть отдельные вырожденные/симметричные случаи, требующие отдельного разбора.
Если нужно, могу привести чисто геометрическую схему построения (чертёжный алгоритм с конкретными линейками/окружностями) или вывести подробнее формулу для $a$ и разобрать вырожденные случаи.