Удобно работать в векторной форме. Пусть правильный тетраэдр имеет вершины $A,B,C,D$ и все рёбра длины $a$. Рассмотрим сечение плоскостью, дающее правильный (равносторонний) треугольник с вершинами на трёх рёбрах тетраэдра. По конструкции три точки пересечения лежат на трёх рёбрах; среди трёх выбранных рёбер найдётся вершина (назовём её $A$), из которой исходят как минимум два из этих рёбер. Обозначим точки пересечения на рёбрах $AB,AC,AD$ параметрами
$$P=A+t(B-A),Q=A+u(C-A),R=A+v(D-A),$$ где $0<t,u,v<1$ (можно перенумеровать вершины так, чтобы сечение пересекало именно эти три рёбра; случаи, когда три рёбра принадлежат одной грани, сводятся к тривиальному — плоскость совпадает с гранью).
Векторные длины и скалярные произведения для рёбер из одной вершины удовлетворяют
$$|B-A|=|C-A|=|D-A|=a,(B-A)\cdot (C-A)=\frac{a^2}{2},$$ потому что углы между любыми двумя рёбрами в вершине равны $60^{\circ }$.
Вычислим квадраты длин сторон треугольника $PQR$:
$$|P-Q{|}^2=|t(B-A)-u(C-A){|}^2=a^2(t^2+u^2-tu),$$ аналогично
$$|Q-R{|}^2=a^2(u^2+v^2-uv),|R-P{|}^2=a^2(v^2+t^2-vt).$$ Треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда эти три выражения равны. Разность первых двух даёт
$$(t^2+u^2-tu)-(u^2+v^2-uv)=(t-v)(t+v-u)=0.$$ Аналогично из равенства второго и третьего получим $(u-t)(u+t-v)=0$. Из этих уравнений и из диапазона $t,u,v\in (0,1)$ следует единственный возможный ненуле­вой случай
$$t=u=v.$$ Значит плоскость пересекает три рёбра, исходящие из одной вершины, в одинаковых долях, что эквивалентно тому, что плоскость параллельна противоположной грани $BCD$. (Если же три рёбра лежат в одной грани, то плоскость совпадает с этой гранью.)
Следствие о длине стороны: при $t=u=v$ получаем
$$|P-Q|=at,$$ то есть сечение — равносторонний треугольник, подобный грани, с коэффициентом подобия $t$ к стороне тетраэдра. В частности, при $t=1$ плоскость даёт грань (сторона $=a$), при $0<t<1$ — внутренняя подобная грань со стороной $at$.
Итог: плоскость даёт сечение в виде правильного треугольника тогда и только тогда, когда она параллельна одной из граней тетраэдра (включая случай совпадения с гранью). В этом случае сечение подобно этой грани, и его сторона равна $at$, где $t\in (0,1]$ — отношение, в котором плоскость делит рёбра, исходящие из противоположной вершины.