Общая форма коники:
$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0.$$
Краткое сравнение двух подходов и алгоритм (с формулами и примерами).
1) Геометрические преобразования (сдвиг, поворот, гомотетия)
- Идея: последовательно применять ортогональный поворот, затем перевод (сдвиг), затем масштабирование координат, чтобы получить привычный (канонический) вид.
- Устойчивые шаги:
1. Классификация по дискриминанту $\Delta =B^2-4AC$: парабола если $\Delta =0$, гипербола если $\Delta >0$, эллипс/окружность если $\Delta <0$.
2. Убрать смешанный член $xy$ поворотом на угол $\theta$, где
$$\tan 2\theta =\frac{B}{A-C}.$$ После поворота квадратичная часть диагонализуется (коэффициенты отвечают осевым направлениям).
3. Сдвигом (переносом центра) убрать линейные члены: если квадратичная матрица $Q=\left(\begin{array}{cc}A& \frac{B}{2}\\ \frac{B}{2}& C\end{array}\right)$, то центр $x_0$ (при невырожденном случае) находится из
$$Q{x}_0=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}D\\ E\end{array}\right).$$ 4. Гомотетией (масштабом осей) привести к канонической норме $\pm \frac{u^2}{a^2}\pm \frac{v^2}{b^2}=1$ или $v^2=2pu$ для параболы.
- Преимущества: интуитивно геометрично (видны оси, вершины, асимптоты), легко применимо для построения и черчения; каждый шаг — простая геометрическая операция (поворот, сдвиг, масштаб).
- Недостатки: вычисление угла и центра вручную иногда громоздко; при вырожденных случаях (парабола $\Delta =0$) формулы с матрицей требуют осторожности.
Пример (гипербола): начать с $xy=1$. Повернём на $\theta =45^{\circ }$ через
$$u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}.$$ Тогда
$$xy=\frac{u^2-v^2}{2},$$ и уравнение даёт канонический вид
$$u^2-v^2=2,$$ далее масштабирование даст стандартный вид $\frac{u^2}{2}-\frac{v^2}{2}=1$.
Пример (парабола): $y=x^2$. Здесь $\Delta =0$. Перенос/поворот не требуются; законченная квадратом алгебра сразу даёт каноническую форму $y=x^2$ или, при желании, через гомотетию $Y=\frac{1}{p}y,X=\frac{1}{\sqrt{p}}x$ получить $Y=X^2$ с удобным параметром.
2) Алгебраические методы (запись в матричном виде, диагонализация, приведение квадратичной формы)
- Идея: рассматривать квадратичную часть как симметрическую матрицу $Q$ и приводить её к диагональному виду алгебраически (спектральное разложение, приведение по преобразованию координат — ортогональной или более общ. конгруэнцией).
- Основные инструменты:
- Матрица квадратичной формы $Q=\left(\begin{array}{cc}A& \frac{B}{2}\\ \frac{B}{2}& C\end{array}\right)$. Запись уравнения как
$$[xy]Q\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+[DE]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+F=0.$$ - Ортогональная диагонализация: $Q=P\Lambda P^T$ (если хотим убрать смешанный член без изменения метр. структуры). Собственные значения ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ дают знак и масштаб по осям (Sylvester — инерция формы).
- Решение для сдвига центра: если $Q$ невырождена, перевод $x=x^{\prime }+x_0$ с $Q{x}_0=-\frac{1}{2}(D,E{)}^T$ убирает линейные члены; итоговая каноническая форма определяется знаками ${\lambda }_i$.
- Для параболы ($\Delta =0$) один собственный ноль: алгебраический метод через приведённую форму и завершение квадрата даёт канонику вида $v^2=2pu$.
- Преимущества: формально системно и универсально (работает в любой размерности), даёт явные спектральные характеристики (собственные значения и векторы), легко классифицирует коники через инварианты (детерминанты, след, $\Delta$). Хорошо обрабатывает вырожденные и общие случаи; удобен для программной реализации.
- Недостатки: может скрывать геометрическую картину (интерпретацию осей, вершины) и требует линейной алгебры (собственные значения/векторы), иногда громоздкие вычисления вручную.
Короткая инструкция «лучшей практики» (объединённый подход)
1. Вычислить $\Delta =B^2-4AC$ для классификации.
2. Диагонализовать квадратичную матрицу $Q$ (найти $\theta$ по $\tan 2\theta =\frac{B}{A-C}$ или спектрально), тем самым убрать смешанный член.
3. Перенести центр с помощью решения $Q{x}_0=-\frac{1}{2}(D,E{)}^T$.
4. Масштабировать оси, чтобы привести коэффициенты к нормализованному каноническому виду.
Итог: геометрические преобразования — удобны для интуитивного приведения и построения (поворот, сдвиг, масштаб), алгебраические методы — системны, универсальны и предпочтительны при аналитическом доказательстве, классификации и при реализации в вычислениях; на практике комбинируют оба подхода (поворот = ортогональная диагонализация, сдвиг = решение линейной системы, гомотетия = нормировка собственных значений).