Обозначим известную диагональ через $d_1$, данный угол при вершине через $\alpha$. Пусть вторая диагональ равна $d_2$, сторона ромба — $a$.
1) Связь сторон и диагоналей (тригонометрия). Диагонали ромба делят углы пополам и являются диагоналями параллелограмма, поэтому
$$d_1=2a\sin \frac{\alpha }{2},d_2=2a\cos \frac{\alpha }{2}.$$ Отсюда
$$a=\frac{d_1}{2\sin (\alpha /2)},d_2=d_1\cot (\alpha /2).$$
2) Радиус вписанной окружности $r$. Площадь ромба через диагонали $S=\frac{d_1{d}_2}{2}$, полупериметр $s=2a$. Для вписанной окружности $r=S/s$, значит
$$r=\frac{d_1{d}_2}{4a}.$$ Подставляя выражения для $d_2$ и $a$,
$$r=\frac{d_1\cdot (d_1\cot (\alpha /2))}{4\cdot (d_1/(2\sin (\alpha /2)))}=\frac{d_1}{2}\cos \frac{\alpha }{2}.$$ (Аналогично: $r=\frac{d_2}{2}\sin (\alpha /2)$.)
3) Радиус описанной окружности $R$. Описанная окружность, проходящая через все 4 вершины, существует только если ромб циклический, т.е. когда противоположные углы в сумме дают $\pi$. Для ромба это выполняется только при $\alpha =\pi /2$ (квадрат). В этом случае центр — пересечение диагоналей, и
$$R=\frac{d_1}{2}.$$ (Также при квадрате $R=\frac{a}{\sqrt{2}}$.)
Краткая координатная проверка: поместите центр ромба в начало координат, вершины в $(\pm d_1/2,0)$, $(0,\pm d_2/2)$. Уравнение стороны и расстояние от начала координат до этой прямой дают тот же результат $r=d_1/2\cos (\alpha /2)$.
Итого:
$$a=\frac{d_1}{2\sin (\alpha /2)},d_2=d_1\cot (\alpha /2),r=\frac{d_1}{2}\cos (\alpha /2),$$ и описанная окружность есть только при $\alpha =\pi /2$, тогда $R=d_1/2$.