Требуется только ответ — привожу формулировки, краткие доказательства в обобщённой (с направленными отрезками и тригонометрической) форме и два коротких примера применения (одно для Чевы — конкуренция, одно для Менелая — коллинеарность).
1) Формулировки (обобщённые)
- Теорема Менелая (направленные отрезки). Для треугольника $ABC$ и прямой, пересекающей прямые $AB,BC,CA$ в точках (включая возможно на продолжениях) $X,Y,Z$ соответственно, точки $X,Y,Z$ коллинеарны тогда и только тогда, когда
$$\frac{AX}{XB}\cdot \frac{BY}{YC}\cdot \frac{CZ}{ZA}=-1,$$ где дроби берутся с учётом направлений отрезков.
- Теорема Чевы (направленные отрезки). Пусть точки $D\in BC,E\in CA,F\in AB$. Пусть прямые $AD,BE,CF$ попарно пересекаются. Эти три прямые конкурентны (пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,$$ с направленными отрезками.
(Тригонометрические формы — полезны при остроугольных/авторегулярных случаях:)
- Тригонометрическая Чева:
$$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}\cdot \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}\cdot \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}=1.$$ - Тригонометрический Менелай:
для коллинеарных $X\in AB,Y\in BC,Z\in CA$ $$\frac{\sin \angle BAX}{\sin \angle XAB}\cdot \frac{\sin \angle CBY}{\sin \angle YBC}\cdot \frac{\sin \angle ACZ}{\sin \angle ZCA}=-1.$$
2) Краткие доказательства
А) Доказательство Менелая (тригонометрическое, коротко). Пусть $X,Y,Z$ лежат на одной прямой. В треугольнике $ABX$ по теореме синусов
$$\frac{AX}{XB}=\frac{\sin \angle ABX}{\sin \angle XBA}.$$ Аналогично
$$\frac{BY}{YC}=\frac{\sin \angle BCY}{\sin \angle YCB},\frac{CZ}{ZA}=\frac{\sin \angle CAZ}{\sin \angle ZAC}.$$ Умножая три равенства и пользуясь тем, что при коллинеарности соответствующие углы суммируются так, что произведение синусов даёт знак $-1$ (директированные углы; эквивалентно тому, что сумма трёх чисел-кратностей $\pi$ даёт нечётность), получаем
$$\frac{AX}{XB}\cdot \frac{BY}{YC}\cdot \frac{CZ}{ZA}=-1.$$ Обратно, если это равенство справедливо (с направленными отрезками), трёхкратное соотношение синусов даёт равенство углов, из чего следует, что точки лежат на одной прямой.
(Можно также дать доказательство Менелая с помощью подобия треугольников и деления на высоты — классическое геометрическое доказательство даёт те же отношения.)
B) Доказательство Чевы (тригонометрическое, коротко). Пусть $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке $O$. В треугольниках при вершине $A$ для точки $D$ на $BC$ по теореме синусов в малых треугольниках, получаем
$$\frac{BD}{DC}=\frac{\sin \angle BOD}{\sin \angle COD}\cdot \frac{BO}{CO},$$ аналогично для других сторон. После сокращения множителей $\frac{AO}{BO},\frac{BO}{CO},\frac{CO}{AO}$ (они появятся при записи $\frac{AF}{FB},\frac{BD}{DC},\frac{CE}{EA}$ через синусы в три треугольника вокруг $O$) получаем
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.$$ Обратное рассуждение (из равенства единицы — получить равенство углов/соотношений синусов) даёт конкуренцию.
(Альтернативно простое классическое доказательство Чевы — через площади: для точки пересечения $O$ обозначить площади треугольников $[AOB]=x,[BOC]=y,[COA]=z$; выразить $\frac{AF}{FB},\frac{BD}{DC},\frac{CE}{EA}$ через эти площади и перемножить — получается 1.)
3) Разница в методике и применении (коротко)
- Смысл: Чева даёт критерий конкуренции трёх лучей, Менелай — критерий коллинеарности трёх точек, они «дуальны» (в проективном/барицентрическом смысле).
- Методика доказательства: оба имеют алгебраические и тригонометрические доказательства; Чеву чаще доказывают через площади или тригонометрию (для острых / случайных углов удобно тригонометрическое пособие), Менелая — через подобие / тригонометрическую форму (удобна для коллинеарности).
- Применение: Чева — показать, что три заданные cevian'ы (медианы, биссектрисы, высоты в тригонометрической форме и т.д.) пересекаются; Менелай — показать, что три заданные точки, лежащие на сторонах/продолжениях, лежат на одной прямой, или вычислить один отрезок по двум известным.
4) Два конкретных примера (иллюстрация различий)
Пример для Чевы (медианы). Пусть $D,E,F$ — середины сторон $BC,CA,AB$. Тогда
$$\frac{AF}{FB}=1,\frac{BD}{DC}=1,\frac{CE}{EA}=1,$$ поэтому
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,$$ и по Чеве медианы $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке (центроид).
Пример для Менелая (Simson — компактная схема). Пусть $P$ — точка на описанной окружности треугольника $ABC$. Пусть $X,Y,Z$ — основания перпендикуляров из $P$ на $AB,BC,CA$. Тогда для коллинеарности $X,Y,Z$ удобно применить тригонометрическую форму Менелая: выразив каждого из трёх отношений через синусы углов, используя, что $P$ лежит на окружности (даёт равенства соответствующих углов и, после умножения трёх дробей, получается $-1$), получаем по Менелаю, что $X,Y,Z$ коллинеарны — это и есть теорема Симпсона. (Тригонометрическое доказательство коротко: каждое отношение вида $\frac{BX}{XC}$ представляется через синусы углов с вершиной в $B$ и $C$; из циклических соотношений углов в вписанном четырёхугольнике получается требуемое произведение $-1$.)
Заключение (коротко): пользоваться Чевой следует, когда нужно доказать конкуренцию трёх лучей (или найти один отрезок по двум), пользоваться Менелаем — когда нужно доказать коллинеарность трёх точек (или найти отношение отрезков на пересечающей прямой).