Расстановка: положим фокусы на оси Ox в точках $F_1(-c,0),F_2(c,0)$. Стандартный вид эллипса
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,b^2=a^2-c^2.$$
Параметризация точек эллипса: $P(t)=(a\cos t,b\sin t)$. Пусть вершины вписанного прямоугольного треугольника — $A=P(s+d),B=P(s-d),C=P(t)$, причем прямой угол при $C$. Тогда середина гипотенузы
$$M=\frac{A+B}{2}=(a\cos s\cos d,b\sin s\cos d).$$ Обозначим $k=\cos d$. Тогда
$$M=k(a\cos s,b\sin s).$$ Вектор $d=\frac{A-B}{2}=\sin d(-a\sin s,b\cos s)$ имеет квадрат нормы
$$|d{|}^2={\sin }^{2}d(a^2{\sin }^{2}s+b^2{\cos }^{2}s).$$ Условие прямого угла при $C$ эквивалентно тому, что точка $C$ лежит на окружности с центром $M$ и радиусом $|d|$, т.е.
$$|P(t)-M{|}^2=|d{|}^2$$ для некоторого $t$. Подставив параметры и выбрав удобную фазу $t=s+\frac{\pi }{2}$ (эта попытка дает полный параметрический набор решений, см. замечание ниже), после упрощений получаем связь между $k$ и $s$:
$$k=\cos d=-\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\sin (2s)=-\frac{c^2}{a^2+b^2}2\sin s\cos s.$$ Отсюда параметрическая запись для середины:
$$u=ak\cos s,v=bk\sin s.$$ Положив $X=\frac{u}{a},Y=\frac{v}{b}$ и введя константу $K=\frac{2c^2}{a^2+b^2}$, получаем рациональную параметризацию (через $p=\tan s$):
$$X=-\frac{Kp}{(1+p^2{)}^{3/2}},Y=-\frac{K{p}^2}{(1+p^2{)}^{3/2}}.$$ Из неё легко исключить параметр и получить неявное уравнение геометрического места центров:
$$\boxed{(\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}{)}^3=\frac{4c^4}{(a^2+b^2{)}^2}\frac{u^2{v}^2}{a^2{b}^2}}.$$
Коротко о свойствах этого множества:
- Это симметричная относительно осей координат алгебраическая кривая степени 6 (симметрии по $x$, $y$ и центральная симметрия).
- Кривая проходит через центр эллипса $(0,0)$; в нуле она имеет особенность (куспидальный характер, параметрически поведение как $(t,t^2)$).
- При круге ($a=b$, значит $c=0$) правая часть равна нулю, и единственная точка — центр круга (для окружности середины гипотенуз всех вписанных прямоугольных треугольников совпадают с центром) — частный случай корректен.
- Кривая расположена внутри выпуклого эллипса и не пересекает его осям, кроме центра (подстановка $v=0$ даёт только $u=0$).
- Для малой эксцентриситети кривая «маленькая» и сосредоточена около центра; при росте эксцентриситета область удлиняется и приобретает сильную неэллиптическую форму (шестьй порядок полинома отражает сложную локальную геометрию и возможные самопересечения в проекциях).
Замечание о полноте: в выводе использована выборка $t=s+\frac{\pi }{2}$, приводящая к удобной явной параметризации; она покрывает все возможные середины гипотенуз вписанных прямоугольников (для каждой пары $s,d$ существует подходящая фаза $t$ дающая прямой угол), так что указанное неявное уравнение описывает полное геометрическое место центров.
Если нужно, могу привести полную подробную алгебраическую проверку исключения параметра и анализ топологии/особых точек кривой.