Коротко: классический метод — построить точки касания как точки пересечения исходного круга с кругом диаметра $OP$. Метод с инверсией даёт альтернативу: инвертировать круг относительно центра в $P$, найти точки пересечения образа круга с кругом диаметра $P{O}^{\prime }$, обратить эти точки обратно — получим точки касания. Ниже — шаги и сравнение.
1) Классический (быстро и геометрически очевидно)
- Обозначим исходный круг $C(O,R)$ и точку $P$ вне круга.
- Постройте круг с диаметром $OP$. Любая точка $T$ его окружности даёт прямой угол $\angle OTP=90^{\circ }$.
- Точки пересечения этого круга с $C(O,R)$ (обозначим $T_1,T_2$) удовлетворяют $\angle O{T}_{i}P=90^{\circ }$, значит радиус $O{T}_i$ перпендикулярен $P{T}_i$ — это точки касания. Проведите прямые $P{T}_1,P{T}_2$.
2) Метод через инверсию (центр инверсии в точке $P$)
- Выберите радиус инверсии $k$ (любой ненулевой). Обозначим инверсию ${\mathcal{I}}_P^k$.
- Образ центра $O$ под инверсией лежит на луче $PO$ и вычисляется по длине
$$P{O}^{\prime }=\frac{k^2}{PO}.$$ - Инвертируйте исходный круг $C(O,R)$ — получите круг $C^{\prime }$ (если исходный круг проходит через $P$, то образ будет прямой).
Практически строят образы трёх точек круга и проводят через них $C^{\prime }$.
- В оригинале для точки касания $T$ имеем $\angle OTP=90^{\circ }$. Инверсия сохраняет углы, поэтому для соответствующей точки $T^{\prime }={\mathcal{I}}_P^k(T)$ выполняется $\angle O^{\prime }{T}^{\prime }P=90^{\circ }$. Это значит, что $T^{\prime }$ лежит на круге с диаметром $P{O}^{\prime }$.
- Найдите пересечения $T_1^{\prime },T_2^{\prime }$ круга $C^{\prime }$ и круга с диаметром $P{O}^{\prime }$.
- Обратными инверсиями получите $T_1={\mathcal{I}}_P^k(T_1^{\prime })$ и $T_2={\mathcal{I}}_P^k(T_2^{\prime })$. Прямые $P{T}_1,P{T}_2$ — искомые касательные.
3) Сравнение и преимущества инверсии
- Эквивалентность: оба метода опираются на прямоугольный треугольник $OTP$ (классический использует это напрямую; инверсия переводит условие прямого угла в условие принадлежности образа круга кругу с диаметром $P{O}^{\prime }$).
- Преимущества инверсии:
- Универсальность в сложных конфигурациях: при наличии нескольких окружностей или дополнительных касательных инверсия часто превращает задачу в пересечения прямых/кругов проще устроенных (в том числе превращает окружность, проходящую через центр инверсии, в прямую).
- Удобно для теоретических рассуждений и доказательств (сохраняет углы, переводит касание в касание/пересечение, упрощает соотношения).
- Хорошо работает в «особых» случаях: если исходный круг проходит через $P$, его образ — прямая, и поиск касательных резко упрощается.
- Недостатки по сравнению с классическим:
- Требует дополнительных построений (инвертирование трёх точек, построение образа круга), поэтому для простой одиночной задачи касательных метод с диаметром $OP$ обычно короче и проще.
- Нужна аккуратность при выборе и выполнении инверсии (построение обратных точек).
Вывод: для простого построения касательных из одной внешней точки классический метод через круг диаметра $OP$ быстрее и проще; инверсия — мощный и гибкий инструмент, особенно полезный в сложных конфигурациях или в задачах доказательного характера, где преобразования облегчают геометрию.