Формулы и краткие пояснения.
1) Обозначения. Пусть выпуклый (или вообще простой, не самопересекающийся) $n$-угольник задан упорядоченными вершинами $(x_i,y_i)$, $i=0,\dots ,n-1$, и положим $x_n=x_0,y_n=y_0$.
2) Площадь (с учётом ориентации):
$$A=\frac{1}{2}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i).$$ Для ориентировки обычно берут $A>0$ (вершины против часовой стрелки). Если нужно модуль площади, используйте $|A|$.
3) Центр масс (центроид) однородной фигуры (плотность постоянна):
$$C_x=\frac{1}{6A}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i),$$ $$C_y=\frac{1}{6A}\sum _{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i).$$ (Если вы использовали ориентировку, то знаменатель $6A$ и числители имеют одинаковый знак; можно использовать $|A|$ и соответствующие абсолютные значения сумм при желании.)
4) Уравнения медиан (лини́й от вершин к центру масс). Для вершины $V_k=(x_k,y_k)$ медиана — прямая через $V_k$ и $C=(C_x,C_y)$.
- Параметрическая форма:
$$L_k(t)=(x_k+t(C_x-x_k),y_k+t(C_y-y_k)),t\in \mathbb{R}.$$
- Явное/неявное уравнение прямой:
$$(y-y_k)(C_x-x_k)-(x-x_k)(C_y-y_k)=0.$$ (При $C_x\ne x_k$ можно также записать $y=y_k+\frac{C_y-y_k}{C_x-x_k}(x-x_k)$.)
Замечания о применимости:
- Формулы для $A,C_x,C_y$ получены разложением многоугольника на ориентированные трапецоиды/треугольники и корректны для любых простых (не самопересекающихся) многоугольников независимо от выпуклости; для невыпуклого центроид по этим формулам даёт правильный центр масс области.
- Для самопересекающихся (звёздных / сложных) многоугольников формулы дают центр «ориентированной области» (с учётом знаков перекрытий), что может не соответствовать ожидаемому геометрическому центру связной области; в таком случае нужно предварительно разложить фигуру на простые области.
Ошибки и численная реализация:
- Катастрофическое вычитание / потеря точности при суммировании больших и противоположных величин (особенно если координаты велики или фигура тонкая). Рекомендации:
- Сдвигать координаты перед вычислением: взять опорную точку $x_i^{\prime }=x_i-x_0,y_i^{\prime }=y_i-y_0$ (или центр bounding box) — это снижает величины слагаемых и не меняет $C$ после обратного сдвига.
- Использовать расширенную точность (long double) или аккумулировать суммы с компенсацией (алгоритм Кэхэна).
- Для целочисленных входов аккуратно оценивать переполнение: произведения $x_i{y}_{i+1}$ могут требовать 64/128-битной арифметики.
- Проверять на вырожденность: если $|A|$ близко к нулю (например, < eps), результат ненадёжен — многоугольник почти вырожден (коллинеарные вершины).
- Порядок вершин важен (CW/CCW); если знак площади отрицателен, либо поменяйте порядок, либо учитывайте знак при делении.
- Комплексные / самопересекающиеся случаи: если нужен «геометрический» центр связного множества, лучше предварительно разбиение на простые полигоны и суммирование по областям (веса — положительные площади).
- Сложность: алгоритм O(n) по числу вершин; сумма выражений требует одного прохода.
Короткое практическое правило: используйте формулы выше прямо, но перед вычислением выполните сдвиг координат ближе к началу координат, примените аккумулирование с компенсацией и проверяйте $|A|$ на малость.