Коротко: в тетраэдре $ABCD$ три высоты (например из $A,B,C$) имеют общую точку тогда и только тогда, когда попарно перпендикулярны противоположные рёбра:
$$AB\perp CD,AC\perp BD,AD\perp BC.$$ В этом случае все четыре высоты пересекаются в одной точке (ортоцентр). Ниже — формулировка и доказательство, затем примеры.
Определение. Высота из вершины $A$ — прямая через $A$, перпендикулярная плоскости противоположного грани $BCD$.
Теорема. Для невырожденного тетраэдра $ABCD$ следующие утверждения эквивалентны:
1) высоты из $A,B,C$ пересекаются в одной точке $H$;
2) попарно перпендикулярны противоположные рёбра: $AB\perp CD,AC\perp BD,AD\perp BC$;
в этом случае также высота из $D$ проходит через ту же точку $H$.
Доказательство.
A) (Конкуренция высот ⇒ противоп. рёбра перпендикулярны.)
Пусть высоты из $A,B,C$ пересекаются в $H$. Тогда
$$(h-a)\perp \text{плоскости}BCD,(h-b)\perp \text{пл.}ACD,(h-c)\perp \text{пл.}ABD,$$ где строчные буквы — векторные координаты точек. В частности вектор $c-d$ лежит в плоскости $BCD$, потому
$$(h-a)\cdot (c-d)=0.$$ А вектор $c-d$ также лежит в плоскости $ACD$, значит
$$(h-b)\cdot (c-d)=0.$$ Вычитая второе из первого, получаем
$$(a-b)\cdot (c-d)=0,$$ т.е. $AB\perp CD$. Аналогично, беря соответствующие векторы, получаем $AC\perp BD$ и $AD\perp BC$.
B) (Противоп. рёбра перпендикулярны ⇒ высоты пересекаются.)
Рассмотрим неизвестную точку $H$ с координатой $h$ и выпишем условия перпендикулярности высот:
$$(h-a)\cdot (b-c)=0,(h-b)\cdot (c-d)=0,(h-c)\cdot (d-a)=0.$$ Это линейная система трёх скалярных уравнений относительно трёх координат $h$:
$$h\cdot (b-c)=a\cdot (b-c),h\cdot (c-d)=b\cdot (c-d),h\cdot (d-a)=c\cdot (d-a).$$ Коэффициентная матрица имеет строки $b-c,c-d,d-a$. Для невырожденного тетраэдра эти три вектора линейно независимы, поэтому матрица невырождена и система имеет единственное решение $h$. Значит существует ровно одна точка $H$, лежащая одновременно на трёх высотах из $A,B,C$. По части A) в таком случае противоположные рёбра перпендикулярны, а потому высота из $D$ также проходит через тот же $H$. (Таким образом три высоты пересечённые в точке автоматически дают ортoцентр всех четырёх высот.)
Примеры.
1) Тетраэдр с ортоцентром (все противоп. рёбра перпендикулярны).
Например стандартный тетраэдр с вершинами
$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0),D=(0,0,1).$$ Проверка: $AB=(1,0,0),CD=(0,-1,1)\Rightarrow AB\cdot CD=0$; аналогично $AC\cdot BD=0,AD\cdot BC=0$. По теореме все высоты пересекаются в одной точке (это ортoцентр и одновременно центры симметрии для правильного расположения).
2) Тетраэдр без ортоцентра (не все противоп. рёбра перпендикулярны).
Например
$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0),D=(1,1,1).$$ Тогда $AB=(1,0,0),CD=(0,0,1)$ и $AB\cdot CD=0$, но
$$AC=(0,1,0),BD=(0,1,1)\Rightarrow AC\cdot BD=1\ne 0.$$ Поскольку не выполнено условие попарной перпендикулярности противоположных рёбер, по теореме высоты не пересекаются в одной точке.
Заключение. Необходимое и достаточное условие пересечения трёх высот тетраэдра в одной точке — попарная перпендикулярность противоположных рёбер; в этом случае тетраэдр называют ортoцентрическим и все четыре высоты имеют общую точку.