Определение. Отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки $A$ к данной прямой $l$, если его одна вершина — это точка $A$, другая вершина $H$ лежит на прямой $l$, и отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $l$ (то есть $AH\perp l$). Точка $H$ при этом называется основанием перпендикуляра.
Теорема (существование и единственность перпендикуляра). Для точки $A$, не лежащей на прямой $l$, существует ровно один перпендикуляр, опущенный из $A$ на $l$.
Доказательство.
1) Существование. Пусть через $A$ провести окружность с радиусом так, чтобы она пересекала прямую $l$ в двух точках $B$ и $C$ (такое возможно при достаточно большом радиусе). Тогда $AB=AC$. Обозначим $H$ — середину отрезка $BC$. По свойству серединного перпендикуляра точка $A$ лежит на перпендикуляре к $BC$ в его середине, значит $AH\perp BC$. Поскольку $BC\subset l$, получаем $AH\perp l$, т.е. перпендикуляр существует.
2) Единственность. Предположим, существуют два перпендикуляра из $A$ на $l$, с основаниями $B$ и $C$ (оба лежат на $l$ и $AB\perp l,AC\perp l$). Тогда прямые $AB$ и $AC$ обе перпендикулярны одной и той же прямой $l$, значит $AB\parallel AC$. Но они пересекаются в точке $A$, следовательно должны совпадать: $AB=AC$ как прямые, а потому $B=C$. Получаем единственность.
Теорема (перпендикуляр как кратчайшее расстояние). Если $H$ — основание перпендикуляра из точки $A$ на прямую $l$, то для любой точки $X$ на $l$ выполняется неравенство $AX>AH$ (при $X\ne H$).
Доказательство. В треугольнике $AHX$ угол при $H$ прямой. Тогда сторона $AX$ — гипотенуза, а $AH$ — катет, откуда по свойству прямоугольного треугольника $AX>AH$. Равенство возможно только при вырожденном случае $X=H$.