Определение. Пусть $K\subset {\mathbb{R}}^3$ — выпуклое компактное тело. Фиксируем направление оси $z$. Для $t\in \mathbb{R}$ обозначим сечение плоскостью $z=t$ через
$$K_t:=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:(x,y,t)\in K\},$$ площадь сечения $A(t):=\mathrm{Area}(K_t)$ и центроид (центр площади) этого сечения
$$g(t)=\frac{1}{A(t)}{\int }_{K_t}(x,y)dA\text{(если}A(t)>0\text{).}$$
Основные свойства и доказательства.
1) Сечения существуют и их центроиды единственны.
Поскольку $K$ компактен, множество значений $t$ с $A(t)>0$ — отрезок $[t_{\min },t_{\max }]$. Для каждого такого $t$ множества $K_t$ — выпуклые компактные подмножества плоскости, поэтому их центроиды хорошо определены.
2) Связь между центроидом тела и центроидами сечений (формула взвешенного среднего).
Пусть $V=\mathrm{Vol}(K)$ и $G\in {\mathbb{R}}^3$ — центроид объёма $K$. Тогда при записи координат $G=(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ имеем (по разложению объёма по слоям и по Fubini)
$$\bar{z}=\frac{1}{V}{\int }_{t_{\min }}^{t_{\max }}tA(t)dt,(\bar{x},\bar{y})=\frac{1}{V}{\int }_{t_{\min }}^{t_{\max }}g(t)A(t)dt.$$ Доказательство — вычисление интегралов: ${\int }_K(x,y)dV={\int }_{t_{\min }}^{t_{\max }}({\int }_{K_t}(x,y)dA)dt=\int g(t)A(t)dt$, аналогично для координаты $z$.
3) Непрерывность площади и центроида по параметру $t$.
Функция $A(t)$ непрерывна на $[t_{\min },t_{\max }]$. Более того, $g(t)$ непрерывен там, где $A(t)>0$. Идея доказательства: при $t_n\to t$ множества $K_{t_n}$ сходятся в смысле Хаусдорфа к $K_t$ (выпуклость + компакность), поэтому площади и интегралы от ограниченных измеримых функций (координат $x,y$ ограничены диаметром $K$) меняются непрерывно — можно применить теорему о пределе под знаком интеграла (доминированная сходимость), или аргумент с равномерной связностью и схождением индикаторных функций почти всюду. Отсюда и непрерывность $g(t)=\frac{1}{A(t)}{\int }_{K_t}(x,y)dA$.
4) Лог‑выпуклость (Брунн–Минковский) для площади сечений.
Для любого $t_1,t_2$ и $\lambda \in [0,1]$ в силу выпуклости тела выполняется
$$K_{(1-\lambda )t_1+\lambda t_2}\supset (1-\lambda )K_{t_1}+\lambda K_{t_2},$$ поэтому по неравенству Брунна–Минковского для плоскости
$$A((1-\lambda )t_1+\lambda t_2{)}^{1/2}\ge (1-\lambda )A(t_1{)}^{1/2}+\lambda A(t_2{)}^{1/2}.$$ То есть функция $A(t{)}^{1/2}$ выпукло‑ограничена (конкавна). Для $n$-мерного выпуклого тела аналогично $A(t{)}^{1/(n-1)}$ — конкавна.
5) Геометрические последствия.
- Так как $A(t{)}^{1/2}$ конкавна, то функция $A(t)$ имеет не более одного локального максимума (она «колоколообразна»).
- Центроиды сечений $g(t)$ лежат в проекции $K$ на плоскость $z=$const и описывают непрерывную кривую внутри этой проекции; общий центроид тела — взвешенное среднее этой кривой с весом $A(t)$.
- Если тело симметрично относительно некоторой плоскости $z=z_0$, то $A(z_0+h)=A(z_0-h)$ и $g(z_0+h)$ симметрично отражён относительно оси симметрии; в частности центроид тела лежит в плоскости симметрии.
6) Дополнительные замечания.
- Функция $g(t)$ не обязательно аффинна или монотонна по $t$ в общем случае. Она становится аффинной, например, когда все сечения связаны аффинным преобразованием в зависимости от $t$ (например, тело — усечение конуса или цилиндр).
- В областях, где сечения гладко зависят от $t$, функция $g(t)$ будет гладкой (дифференцируемость следует из дифференцируемости границы сечения и т. п.).
Краткое резюме: при параллельных срезах выпуклого тела площади сечений $A(t)$ удовлетворяют неравенству Брунна–Минковского ($A(t{)}^{1/2}$ конкавна), центроиды сечений $g(t)$ определены и непрерывны там, где $A(t)>0$, а центроид всего тела равен площадно‑взвешенному среднему центроидов сечений по формуле $(\bar{x},\bar{y})=\frac{1}{V}\int g(t)A(t)dt$ и $\bar{z}=\frac{1}{V}\int tA(t)dt$.