Краткая хронология и смысловые сдвиги (с формулами в KaTeX).
1) Евклид (ок. IV—III в. до н.э.)
- Прямая — интуитивный геометрический объект, заданный постулатами. Главное: «из любой точки в любую точку можно провести прямую»; незадана формальная модель.
- Ключевые свойства в тексте: бесконечность, однозначность через две точки, «коротчайшее расстояние» не формализовано.
- Формально: постулат 1: «через любые две точки проходит прямая». Параллельный пятый постулат вводит евклидову глобальную структуру.
2) Декартова аналитическая геометрия (XVII в.)
- Прямая = решение линейного уравнения в координатах: $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:ax+by+c=0\}$.
- Сдвиг: прямая перестаёт быть «интуицией» — становится подмножеством ${\mathbb{R}}^n$, определяется алгеброй и векторной структурой (аффинное подпространство: $\{p+tv:t\in \mathbb{R}\}$).
3) Проективная геометрия (XVIII—XIX вв.)
- Аксиоматизация инциденций: любые две различные точки определяют единственную прямую; параллели исчезают (введение прямой на бесконечности).
- Прямая — экстенсиональное множество точек, важны только отношения инцидентности и двойственности, метрические понятия отброшены.
- Прямые характеризуются инвариантами трансформационной группы (Эрлангенская программа Клейна): в проектной геометрии — проективные преобразования.
4) Невозможность единственной системы — неевклидовы геометрии (XIX в.)
- Лобачевский, Болайи: отказ пятого постулата; «прямые» остаются прямолинейными в смысле геодезических, но имеют иные взаимные положения (множество параллелей).
- Риман: локальный подход — геометрия как многообразие с метрическим тензором; «прямая» = геодезическая (кривая, дающая экстремум длины).
5) Формализация (конец XIX — начало XX в.)
- Гильберт (1899): строгая аксиоматизация. Система делится: I — инциденция (через любые две точки проходит одна и только одна прямая), II — порядок (отношение между точками на прямой — между), III — конгруэнция (равенство отрезков/углов), IV — аксиома о параллелях, V — непрерывность (архимедова, полнота).
- Смысл: прямая — примитивный объект в формальной теории, его свойства вытекают из набора аксиом; понятие уже не обязано соответствовать «линии на плоскости» в привычном смысле.
6) Метрика и метрическая геометрия XX века
- Общая тенденция: определять «прямую» через метрические свойства (геодезика, изометрический образ $\mathbb{R}$).
- В метрическом пространстве $(X,d)$:
- геодезическая кривая $\gamma :I\to X$ удовлетворяет $d(\gamma (s),\gamma (t))=|s-t|$ (изометрическая параметризация);
- «метрическая прямая» часто определяется как образ изометрии $f:\mathbb{R}\to X$, т. е. для всех $s,t$ $d(f(s),f(t))=|s-t|$.
- Разработчики: Мэнгер, Буземанн, Блументаль. Буземанн вводил постулаты геодезических пространств (существование и свойства геодезик), Мэнгер — метрические аксиомы для измерения «между».
7) Современные подходы и разновидности «прямой»
- Аффинная линия: одномерное аффинное подпространство в векторном пространстве.
- Проективная прямая: множество точек, инцидентностные аксиомы; роль «линии на бесконечности».
- Геодезическая/метрическая линия: изометрический образ $\mathbb{R}$ или локально минимальная длина.
- В синтетической метрической геометрии (Александров, Буземанн) исследуют кривизну и свойства геодезик без исходной гладкости.
Смена аксиом и интерпретаций — суть
- От интуитивного (Евклид) к алгебраическому (Декарт): прямая = множество, задаваемое уравнением.
- От метрики к только инцидентности (проектive): метрические понятия теряются, остаются инцидентность и коллинеарность.
- От неформального постулата к формальной аксиоматике (Гильберт, Паск): разбивка свойств прямой на независимые аксиомы (инциденция, порядок, непрерывность, параллели).
- XX в.: введение метрического определения (геодезики, изометрические образы $\mathbb{R}$), что позволяет переносить понятие «прямой» в общие метрические и геодезические пространства.
Краткое резюме
- «Прямая» эволюционировала от визуально-интуитивного первичного понятия до множества формально различных, но взаимосвязанных понятий: аффинная/аналитическая прямая ($ax+by+c=0$), проективная прямая (инциденция), геодезическая/метрическая линия ($d(f(s),f(t))=|s-t|$) и аксиоматически заданная прямая (Гильберт, Тарски).
- Изменение аксиом отражало смену целей: от описания евклидовой «реальной» геометрии к чисто логической аксиоматике и к обобщённым метрическим структурам XX века.