Кратко: пусть центры заданных окружностей $C_i$ — в точках $O_i=(x_i,y_i)$ с радиусами $r_i$ ($i=1,2,3$). Обозначим неизвестную искомую окружность центром $O=(x,y)$ и радиусом $R$. Для каждой окружности существует знак $s_i=\pm 1$, где $s_i=+1$ значит внешняя касательность ($\overline{O{O}_i}=R+r_i$), а $s_i=-1$ — внутренняя ($\overline{O{O}_i}=R-r_i$). Далее конструктивно решаем систему.
1) Уравнения расстояний (квадраты):
$$(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2=(R+s_i{r}_i{)}^2,i=1,2,3.$$
2) Вычтем, например, уравнения для пар (1,2) и (1,3). Для пары (1,2) получаем (после упрощения)
$$2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y+(x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2)-(r_1^2-r_2^2)=2R(s_1{r}_1-s_2{r}_2).$$ Обозначим кратко
$$A_{12}=2(x_2-x_1),B_{12}=2(y_2-y_1),$$ $$E_{12}=x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2-(r_1^2-r_2^2),D_{12}=s_1{r}_1-s_2{r}_2.$$ Тогда
$$A_{12}x+B_{12}y+E_{12}=2R{D}_{12}.$$ Аналогично для пары (1,3):
$$A_{13}x+B_{13}y+E_{13}=2R{D}_{13}.$$
3) Устремляемся избавиться от $R$. Если одновременно $D_{12}$ и $D_{13}$ не нули, исключаем $R$ комбинацией
$$D_{13}(A_{12}x+B_{12}y+E_{12})-D_{12}(A_{13}x+B_{13}y+E_{13})=0.$$ Это линейное уравнение для $x,y$. Требуется второе линейное уравнение — можно взять разность для пары (2,3) или предыдущую комбинацию; в результате получаем систему двух линейных уравнений, решаемую стандартно (методом Крамера). Пусть решение даёт
$$x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta },y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta },$$ где $\Delta ,{\Delta }_x,{\Delta }_y$ — детерминанты соответствующей 2×2 системы (формулы выписываются по обычным правилам).
4) Затем $R$ вычисляем из любого из уравнений, например
$$R=\frac{A_{12}x+B_{12}y+E_{12}}{2D_{12}}.$$ Берём $R>0$; если получилось $R\le 0$ или несовместимость — выбранная комбинация знаков $s_i$ не даёт реального решения. Перебираем варианты знаков (всего до $2^3=8$ комбинаций); для каждой комбинации может быть 0, 1 или 2 геометрических решений (две симметричные по отношению к прямой, получающейся при вырождении и т.п.).
Примечания и вырождения:
- Если для некоторой пары $D_{ij}=0$ (т.е. $s_i{r}_i=s_j{r}_j$), то соответствующее уравнение не содержит $R$ и даёт напрямую линейное условие на $x,y$: $A_{ij}x+B_{ij}y+E_{ij}=0$. Тогда система остаётся линейной и решается обычным образом.
- Аналитическое решение даёт конструктивную схему: по вычисленным числам строятся точки пересечения прямых/окружностей. Это переводится в геометрическую постройку с линейными и окружностными пересечениями (компас и линейка), поэтому решение конструктивно.
Краткая геометрическая интерпретация: центр искомой окружности — пересечение двух гипербол (или прямых в вырожденных случаях), задаваемых равенством разниц расстояний до пар фокусов $O_i$ и смещением, зависящим от $s_i{r}_i$. Практически строят эти геометрические местоположения путём сведений к линейным уравнениям (как выше) либо с помощью инверсий, сводящих задачу к касательности к прямой и двум окружностям (классический геометрический приём).
Таким образом: выписать уравнения, выбрать комбинацию знаков $s_i$, получить две линейные поправки (вычитания квадратов) — решить линейную систему для $x,y$ и затем найти $R$. Это и есть конструктивное решение задачи Апполония.