Ниже — сжатая классификация вещественных коник, заданных общим многочленом второго порядка
$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0.$$ Ключевая идея: сначала ортогонально диагонализовать квадратичную часть $\left(\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right)$ (поворотом) и затем сдвигом убрать линейные слагаемые; получим каноническое уравнение вида
$${\lambda }_1{X}^2+{\lambda }_2{Y}^2+F^{\prime }=0,$$ где ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ — собственные числа квадратичной части. Обозначим дискриминант квадратичной части $\Delta =B^2-4AC$.
1) Ненулевой ранг квадратичной части (оба ${\lambda }_i\ne 0$, то есть $\det \left(\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right)\ne 0$)
- $\Delta <0$ (собственные числа одного знака) — эллиптический тип:
- канонически $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$ (реальная эллипса, включая окружность при $a=b$);
- возможна мнимая эллипса (нет действительных точек): $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=-1$;
- вырожденный случай — точка: $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=0$.
- Геометрика: замкнутая кривая (или её отсутствие/точка).
- $\Delta >0$ (собственные числа разных знаков) — гиперболический тип:
- канонически $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$ — ветви гиперболы;
- вырожденный случай — две пересекающиеся прямые: $({\ell }_{1}X+m_{1}Y+n_1)({\ell }_{2}X+m_{2}Y+n_2)=0$.
- Геометрия: две разомкнутые ветви, либо пересекающиеся прямые.
2) Ранг квадратичной части = 1 (ровно одно $\lambda \ne 0$, эквивалентно $\Delta =0$)
- Парaболический тип:
- канонически $Y=\alpha X^2$ или $X^2=2pY$ (после поворота/сдвига) — обычная парабола;
- вырожденные варианты: две параллельные прямые или кратная прямая (если после преобразований квадратное слагаемое — полный квадрат): $(\ell X+mY+n)(\ell X+mY+n^{\prime })=0$ или $(\ell X+mY+n{)}^2=0$.
- Геометрия: одна ветвь (парабола) или две/одна параллельные прямые (вырождение).
3) Ранг квадратичной части = 0 (и тогда уравнение линеарно или константа)
- Если одновременно исчезают квадратичные и линейные члены, остаётся $F=0$ — либо вся плоскость ($F=0$ тождественно), либо пустое множество ($F\ne 0$).
- Если квадратичная часть нулевая, но есть линейные члены, это прямая(ые): $\ell X+mY+n=0$ или пара прямых.
Короткие практические критерии
- Посчитать $\Delta =B^2-4AC$:
- $\Delta <0$ → эллипс/мнимая эллипса/точка (если не вырождён);
- $\Delta =0$ → парабола/параллельные/кратные прямые;
- $\Delta >0$ → гипербола/две пересекающиеся прямые.
- Для точного отличия реальной эллипсы от мнимой и для выявления вырождений нужно доп. проверить свободный член после переноса центра — эквивалентно знакам ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ и значения $F^{\prime }$ в каноническом уравнении; вырождение соответствует нулевым сочетаниям, приводящим к факторизации в линейные множители.
Если нужно, могу привести алгоритм приведения к каноническому виду и точные условия (через определитель матрицы
(AB/2D/2B/2CE/2D/2E/2F)) \begin{pmatrix}A & B/2 & D/2\\[4pt] B/2 & C & E/2\\[4pt] D/2 & E/2 & F\end{pmatrix})
AB/2D/2 B/2CE/2 D/2E/2F ) для каждого вырожденного случая.