Идея: заменить объёмную задачу плоской с помощью проекции (обычно ортогональной на некоторую плоскость π). Это переводит вопросы о расстояниях/углах с участием плоскости в планиметрические задачи для проекций линий/точек в π.
Пример (конкретный и вычисление). Пусть плоскость π — координатная плоскость $z=0$. Точки
$C=(0,3,0)$, $D=(1,1,2)$. Требуется угол между прямой $CD$ и плоскостью π.
1) Ортогональная проекция точки $D$ на π: $D^{\prime }=(1,1,0)$. Проекция вектора направления прямой
$$v=D-C=(1,-2,2),v_{\pi }=(1,-2,0).$$
2) Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью равен углу между $v$ и его проекцией $v_{\pi }$. Можно использовать
$$\tan \alpha =\frac{|v_z|}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+4}}=\frac{2}{\sqrt{5}},$$ откуда
$$\alpha =\arctan \frac{2}{\sqrt{5}}\approx 41.81^{\circ }.$$
Общая формула (для любой ортогональной проекции на плоскость): если $v$ — направляющий вектор прямой, $v_{\pi }$ — его проекция, то
$$\cos \alpha =\frac{|v_{\pi }|}{|v|},\alpha =\arctan \frac{|v_n|}{|v_{\pi }|},$$ где $v_n=v-v_{\pi }$ — нормальная составляющая.
Что сохраняется при ортогональной проекции (польза редукции)
- коллинеарность и пересечение: прямые и точки, лежащие на одной прямой, проецируются в коллинеарные точки; пересечения сохраняются;
- параллельность (если линии не обе коллапсируют в одну точку);
- отношения отрезков на одной прямой (аффинность вдоль неперпендикулярной прямой);
- планиметрические величины, лежащие в плоскости π (углы и расстояния в самой π).
Что теряется (ограничения, неоднозначности)
- глубина (координата вдоль нормали) полностью теряется: множество точек вдоль нормали проецируется в одну точку → восстановить объём уникально нельзя;
- длины в объёме и общие углы не сохраняются (кроме частных случаев: углы между линиями, обеими лежащими в π, или между линией и самой π, как показано выше);
- прямая, перпендикулярная π, коллапсирует в одну точку (теряется направление);
- визуально разные пространственные конфигурации могут иметь одинаковую проекцию → нужны дополнительные данные (высоты, нормали, вторые проекции) для однозначного обратного перехода.
Вывод: редукция через ортогональную проекцию эффективна, когда искомая величина однозначно выражается через проекции (угол между прямой и плоскостью, расстояние от точки до плоскости, положение пересечения прямой с плоскостью и т.п.). Но при отсутствии дополнительных ограничений редукция теряет информацию о глубине, поэтому решение в общем случае не восстанавливается единственным образом.