Формулировка (теорема Чева — дуальное обобщение теоремы Менелая).
Пусть в треугольнике $ABC$ точки $A_1\in BC$, $B_1\in CA$, $C_1\in AB$. Отрезки (или прямые) $A{A}_1$, $B{B}_1$, $C{C}_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение
$$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}\cdot \frac{C{B}_1}{B_{1}A}\cdot \frac{A{C}_1}{C_{1}B}=1,$$ где берутся направленные отрезки (знак учитывает положение точек на продолжениях сторон).
Короткое доказательство (через площади).
Обозначим через $[XYZ]$ площадь треугольника $XYZ$. Если $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ пересекаются в точке $O$, то для точки $A_1\in BC$ верно
$$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}=\frac{[AB{A}_1]}{[A_{1}AC]}.$$ Так как $O$ лежит на прямой $A{A}_1$, треугольники $AB{A}_1$ и $ABO$ имеют одинаковую высоту к стороне $AB$, а треугольники $A_{1}AC$ и $OAC$ — одинаковую высоту к стороне $AC$. Следовательно
$$\frac{[AB{A}_1]}{[A_{1}AC]}=\frac{[ABO]}{[OAC]}.$$ Аналогично
$$\frac{C{B}_1}{B_{1}A}=\frac{[BCO]}{[OAB]},\frac{A{C}_1}{C_{1}B}=\frac{[CAO]}{[OBC]}.$$ Перемножив три равенства, в числителях и знаменателях сократятся площади, и получим требуемое равенство
$$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}\cdot \frac{C{B}_1}{B_{1}A}\cdot \frac{A{C}_1}{C_{1}B}=\frac{[ABO]}{[OAC]}\cdot \frac{[BCO]}{[OAB]}\cdot \frac{[CAO]}{[OBC]}=1.$$
Обратное направление (если произведение равно 1, то прямые конкуруют) доказывается аналогично, например, беря точку пересечения двух из прямых и применяя те же равенства для соотношений на сторонах — несоответствие привело бы к противоречию с равенством произведения, поэтому третья прямая должна проходить через эту точку.
Замечание. Теорема Чева — естественное дуальное обобщение теоремы Менелая: Менелай даёт условие коллинеарности трёх пересечений прямой с продолжениями сторон треугольника (произведение равно $-1$ для направленных отрезков), а Чева — условие конкурентности трёх цевиан (произведение равно $1$).