Короткий ответ: невозможно. Три плоскости в пространстве не могут иметь попарные пересечения, которые образуют ненулевой (невырожденный) треугольник.
Доказательство (кратко). Пусть плоскости $P_1,P_2,P_3$ и обозначим попарные пересечения (если они существуют) через
$$l_{12}=P_1\cap P_2,l_{13}=P_1\cap P_3,l_{23}=P_2\cap P_3.$$ Заметим, что
$$l_{12}\cap l_{13}=(P_1\cap P_2)\cap (P_1\cap P_3)=P_1\cap P_2\cap P_3.$$ Аналогично любые две из линий $l_{12},l_{13},l_{23}$ пересекаются тогда и только тогда, когда непусто множество $P_1\cap P_2\cap P_3$, и в этом случае все три линии пересекаются в одной и той же точке (точке тройного пересечения плоскостей). Следствия:
- Если $P_1\cap P_2\cap P_3$ — одна точка, то $l_{12},l_{13},l_{23}$ — три луча/прямые, объединённые в одну точку (конкуррентны) — не треугольник.
- Если $P_1\cap P_2\cap P_3$ — прямая, то $l_{12}=l_{13}=l_{23}$ (все три пересечения совпадают) — не треугольник.
- Если хотя бы одна пара плоскостей параллельна или совпадает, то некоторое попарное пересечение либо пусто, либо совпадает с плоскостью — треугольник тоже невозможен.
Классификация по рангу (линейно-алгебраический способ). Пусть уравнения плоскостей заданы как $n_i\cdot x=d_i$ для векторов нормалей $n_i$. Пусть матрица нормалей $N$ имеет ранг:
- $\mathrm{rank}N=3$: есть единственная точка $P_1\cap P_2\cap P_3$ (общая точка) — все три $l_{ij}$ пересекаются в этой точке.
- $\mathrm{rank}N=2$: нуль-пространство одномерно, возможен общий направляющий вектор (в случае совместности уравнений все три плоскости содержат одну общую прямую) — все $l_{ij}$ совпадают; или нет общей прямой/точки — тогда некоторые попарные пересечения отсутствуют или параллельны.
- $\mathrm{rank}N=1$: все плоскости параллельны (или совпадают) — попарные пересечения отсутствуют или совпадают с плоскостью.
Вывод: никакая конфигурация трёх плоскостей в ${\mathbb{R}}^3$ не даёт трёх различных прямых, образующих стороны невырожденного треугольника; либо линии не все существуют, либо они совпадают, либо все пересекаются в одной точке.