Ниже — несколько способов получить эллипс как пересечение прямого кругового конуса и плоскости; для каждого — идея конструкции, ключные формулы и сравнительная оценка точности и простоты.
1) Аналитическое уравнение (алгебраическая конструкция)
- Пусть конус с вершиной в начале координат и осью $z$ задан уравнением
$$x^2+y^2=(z\tan \alpha {)}^2,$$ плоскость — в общем виде
$$n_{x}x+n_{y}y+n_{z}z+d=0,n_z\ne 0.$$ - Подставив $z=-(n_{x}x+n_{y}y+d)/n_z$, получаем квадратичное уравнение в $x,y$:
$$x^2+y^2-\frac{{\tan }^2\alpha }{n_z^2}(n_{x}x+n_{y}y+d{)}^2=0,$$ т.е. каналическая коника
$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0,$$ с коэффициентами (явно)
$$\begin{array}{rlrl}A& =1-\frac{{\tan }^2\alpha }{n_z^2}{n}_x^2,& B& =-2\frac{{\tan }^2\alpha }{n_z^2}{n}_x{n}_y,\\ C& =1-\frac{{\tan }^2\alpha }{n_z^2}{n}_y^2,& D& =-2\frac{{\tan }^2\alpha }{n_z^2}d{n}_x,\\ E& =-2\frac{{\tan }^2\alpha }{n_z^2}d{n}_y,& F& =-\frac{{\tan }^2\alpha }{n_z^2}{d}^2.\end{array}$$ - Оценка: абсолютно точный и полный метод — даёт все параметры эллипса (центр, полуоси, угловое положение) аналитически. Минус — алгебра громоздка при ручных построениях; для черчения нужно дополнительно приводить к каноническому виду (вращение осей).
2) Параметрическая конструкция через образующую конуса
- Параметризация прямого кругового конуса (вершина в 0, ось $z$):
$$\mathbf{v}(t)=(\sin \alpha \cos t,\sin \alpha \sin t,\cos \alpha ),t\in [0,2\pi ).$$ точка на образующей для масштаба $u$ — $\mathbf{r}=u\mathbf{v}(t)$.
- Пересечение с плоскостью $\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}+d=0$ даёт
$$u=-\frac{d}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}(t)},$$ и параметрическое уравнение эллипса в пространстве
$$\mathbf{r}(t)=-\frac{d}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}(t)}\mathbf{v}(t).$$ - Оценка: компактная и численно удобная конструкция для генерации множества точек (подходит для CAD и графики). Точность ограничена численным вычислением и делением на малые значения $\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}(t)$ (ущерб устойчивости при почти-параллельных направлениях). Для ручного черчения легко получить набор точек и огрубить кривую.
3) Центральная проекция (геометрическая, простая чертёжная)
- Идея: возьмём пересечение конуса с плоскостью, перпендикулярной оси конуса (эта пересекает конус по кругу).Любую образующую линии через вершину аппроксимируем: центральная проекция этого круга из вершины на заданную секущую плоскость даёт требуемый эллипс.
- Построение: на плоскости, перпендикулярной оси, нарисовать круг (сечение конуса). Для большого числа точек на круге провести лучи через вершину конуса; точки пересечения этих лучей с заданной плоскостью — точки эллипса; соединить плавной кривой.
- Оценка: очень простое и наглядное в ручном черчении; при достаточном числе точек получается практически точный эллипс. Минус — чисто конструктивный: нужны много точек для аккуратности; не даёт сразу формулы полуосей и направления без дальнейшего анализа.
4) Конструкция через сферы Данделена (геометрически значимая, даёт фокусы)
- Теорема Данделена: существуют две сферы, касающиеся и конуса (по кругу) и плоскости (в точках $F_1,F_2$). Эти точки касания на плоскости — фокусы эллипса, и для любой точки $P$ эллипса выполняется
$$P{F}_1+P{F}_2=\text{const}=2a,$$ где $a$ — большая полуось.
- Построение (схема): найти ось конуса, построить сферы касательные к конусу и плоскости (их центры лежат на оси); найти точки касания сфер с плоскостью — получим фокусы; далее можно строить эллипс по определению с суммой расстояний (классический метод «нитка и два гвоздя»).
- Оценка: даёт конструктивно точные фокусы и физическое понимание свойств эллипса (фокусное отражение, сумма расстояний). На практике построить касательные сферы и точно определить касательные точки сложно ручными средствами — метод больше теоретический и полезен для доказательств.
5) Приведение к кругу через аффин/ортогональную замену координат
- Любое пересечение плоскости с круговым конусом — прообраз круга под некоторой невырожденной аффинной (или ортогональной+скалирования) трансформацией. Практически: поворотом и сжатием координат можно привести уравнение к виду круга $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=R^2$. Обратная аффинная трансформация круга даёт эллипс.
- Оценка: полезно для аналитических вычислений и для понимания инвариантов; требует линейной алгебры (матрицы преобразований). Точность аналитически полная; для ручного построения менее практична.
Сравнение по точности и простоте (кратко)
- Абсолютная точность (формулы): аналитическое уравнение (1) и параметрическое выражение (2) дают точный результат; аффинный метод тоже точен.
- Практичность черчения: центральная проекция (3) — самая простая и наглядная для ручного построения большого числа точек; метод Данделена (4) даёт точные фокусы, но само построение сфер сложно.
- Простота реализации в ПО: параметрическая форма (2) простая и устойчивая при хорошем численном контроле; аналитическое решение (1) даёт сразу параметры для вывода в каноническом виде.
- Устойчивость/численная стабильность: аналитическая формула может требовать вращения осей (компьютерно — нормально); параметрическая форма чувствительна, если $\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}(t)$ близко к нулю; проекционный метод в чертеже зависит от точности построения.
Короткие рекомендации
- Для теоретических вычислений и получения параметров (центр, полуоси, углы) — взять аналитический подход (1) и привести к каноническому виду.
- Для построения множества точек в CAD/графике — использовать параметрическую формулу (2).
- Для быстрого ручного чертежа — центральную проекцию круга (3).
- Для получения фокусов и доказательных геометрических свойств — использовать сферу Данделена (4).