Короткое формулирование задачи и замечание о тривиальном случае.
- Пусть вершины выпуклого многоугольника — точки $A_1,\dots ,A_n$ и для точки $P$ рассмотрим функцию
$$f(P)=\prod _{i=1}^n|P{A}_i|.$$ Если разрешено выбирать $P$ среди всех точек замкнутой области, то тривиально $\inf f=0$ и минимум достигается в вершинах (где одно слагаемое равно нулю). Чтобы получить нетривиальную задачу, обычно рассматривают либо минимизацию по внутренним точкам (исключая вершины), либо поиск критических точек функции вне вершин. Ниже — исследование общего вида (координатный подход) и выводы при симметрии.
Координатный (аналитический) подход.
- Введём логарифм: $\Phi (P)=\ln f(P)={\sum }_{i=1}^n\ln |P-A_i|$. Минимизация $f$ эквивалентна минимизации $\Phi$.
- Градиент и условие стационарности:
$$\nabla \Phi (P)=\sum _{i=1}^n\frac{P-A_i}{|P-A_i{|}^2}.$$ Точки критического типа (внутренние стационарные точки $\Phi$) удовлетворяют уравнению
$$\sum _{i=1}^n\frac{P-A_i}{|P-A_i{|}^2}=0.$$ Это векторное (нелинейное) уравнение; его решения — кандидаты на локальные экстремумы (вне вершин).
- Вторая производная (матрица Гессе) по направлению $v$ даёт
$$v^{\top }{\nabla }^2\Phi (P)v=\sum _{i=1}^n\left(\frac{|v{|}^2}{|P-A_i{|}^2}-\frac{2(v\cdot (P-A_i){)}^2}{|P-A_i{|}^4}\right).$$ Знак этой формы определяет локальную выпуклость/вогнутость $\Phi$ в точке $P$.
Качественные выводы (общие).
- Функция $\ln |X-A_i|$ гармонична вне точки $A_i$ (в плоскости $\Delta \ln |X-A_i|=0$ вне $A_i$); следовательно сумма $\Phi$ гармонична вне множества вершин. По принципу максимума для гармонических функций $\Phi$ не имеет локальных экстремумов в любой области, не содержащей вершин. Поэтому всякая внутренняя стационарная точка обязана быть связана с особенностями (симметрией) конфигурации точек $A_i$.
- Глобальный инфимум по всей плоскости — ноль (в вершинах). При требовании «внутри многоугольника, исключая вершины» минимум достигается на границе (т.е. на вершинах). Поэтому интересны только стационарные точки вне тривиального случая или при дополнительных ограничениях.
Роль симметрии. примеры и достаточные условия минимума.
- Центр симметрии (центроид при центральной симметрии). Пусть вершины попарно симметричны относительно точки $O$: для каждого $A_i$ существует $A_j=-A_i$ (в координатах с центром в $O$). Тогда в $P=O$ $$\nabla \Phi (O)=\sum _i\frac{-A_i}{|A_i{|}^2}=0$$ (сумма попарно аннулируется). Следовательно центр симметрии — критическая точка. Далее анализ квадратичного члена показывает, что при «общей позиции» пар и положительных вкладов в сумму вторых производных эта критическая точка является минимумом для $\Phi$ (и поэтому минимума для $f$) среди точек, близких к центру. В частности для центрально-симметричных многоугольников центр — единственный естественный кандидат и, как правило, локальный (часто глобальный среди симметричных кандидатов) минимум.
- Ротационная симметрия. Если многоугольник инвариантен при повороте на угол $2\pi /k$ вокруг точки $O$ (в частности правильный $n$-угольник), то по симметрии в $O$ снова $\nabla \Phi (O)=0$, и $O$ — стационарная точка. У правильного $n$-угольника это точка глобального минимума $\Phi$ среди всех точек плоскости, так как любая отклоняющаяся по симметричным осям вариация увеличивает сумму логарифмов (в силу равенства расстояний в центре и положительной квадратичной формы вторых производных).
- Для произвольного выпуклого многоугольника без симметрии уравнение стационарности обычно имеет неявные решения; решение нужно искать численно (например, метод Ньютона для уравнения $\sum \frac{P-A_i}{|P-A_i{|}^2}=0$). Но в отсутствие симметрии гарантии, что центр масс вершин (среднее векторов $\frac{1}{n}\sum A_i$) является решением, нет: в общем $\sum A_i=0$ не влечёт $\sum A_i/|A_i{|}^2=0$.
Краткая схема доказательств/методов, которые можно применить.
1. Координатный метод: перенести центр (например, центр масс) в начало координат, выписать $\Phi$, градиент и Гесс и искать решения $\nabla \Phi =0$; для симметрий проверять аннулирование линейного члена и изучать знак квадратичного члена.
2. Симметрические рассуждения: если конфигурация вершин инвариантна относительно точки/оси/поворота, то точка симметрии обнуляет градиент и обычно даёт минимум (по симметрии линейный вклад исчезает, квадратичный — положителен).
3. Аналитические свойства: гармоничность $\Phi$ вне вершин → нет внутренних локальных экстремумов в областях, не содержащих вершин; поэтому для получения немонотонных внутренних минимумов нужна симметрия (или схождение особенностей).
Выводы (кратко).
- Без дополнительных ограничений глобальный минимум $f$ достигается в вершинах (значение $0$).
- Интересный немногривиальный случай — поиск внутренних стационарных точек: они удовлетворяют ${\sum }_{i=1}^n\frac{P-A_i}{|P-A_i{|}^2}=0$. Такие точки обычно связаны с симметрией конфигурации; при центральной или ротационной симметрии центр является (локальным, часто и глобальным среди симметричных кандидатов) минимумом.
- Для конкретного многоугольника без симметрии решение получают численно; при симметрии — эти рассуждения дают явный ответ: центр симметрии / центр поворота минимизирует произведение.
Если хотите, могу:
- привести детальные вычисления Гессе в случае центральной симметрии и показать положительную определённость квадратичной формы, или
- проиллюстрировать численным примером (задаёте координаты вершин) решение уравнения стационарности.