Рассмотрим шаровую поверхность радиуса $R$ (центр в $O$) и плоскость через $O$, пересекающую сферу по большой окружности. Коротко и по пунктам:
1) Геодезические на сфере
- Большие окружности (пересечения сферы с плоскостями, проходящими через центр $O$) — это геодезические (локально кратчайшие кривые) и единственные простые замкнутые геодезические на полной сфере.
- Для единичной сферы ($R=1$) геодезика с начальными данными $p\in S^2$, $v\in T_p{S}^2$, $⟨p,v⟩=0$, $|v|=1$, задаётся явно:
$\gamma (t)=\cos tp+\sin tv,$ где параметр $t$ — длина дуги. Для общего $R$ достаточно масштабировать аргумент: $\gamma (s)=\cos \frac{s}{R}p+\sin \frac{s}{R}v$.
- Геодезическое расстояние между двумя точками $p,q\in S^2$ равно
$d(p,q)=R\arccos \frac{p\cdot q}{R^2}.$ - Геодезическая кривизна большой окружности равна нулю (как кривой в индукционной метрике поверхности).
2) Соответствие с плоской геометрией (для плоскости, пересекающей сферу по большой окружности)
- Каждая большая окружность является также обычной евклидовой окружностью в той плоскости (с радиусом $R$), но как подмногообразие сферы её внутренняя (индукционная) геометрия совпадает с окружностью длиной $2\pi R$. В плоскости эта кривая не является «прямой», поэтому геодезия на сфере ≠ прямая в плоскости (за исключением вырожденного случая — пересечения, представляющего прямую линии при проекции).
- Локально поверхность сферы аппроксимируется касательной плоскостью (евклидово приближение); глобально же постоянная гауссова кривизна $K=1/R^2$ даёт отличия от плоскости (например, суммы углов треугольника равны $\pi +K\cdot$площадь).
3) Стереографическая проекция: формулы и инварианты
- Возьмём единичную сферу $S^2=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\}$ и проецируем из «северного полюса» $N=(0,0,1)$ на плоскость $z=0$. Проекция и обратная:
$\pi (x,y,z)=(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}),$ ${\pi }^{-1}(u,v)=\frac{1}{1+u^2+v^2}(2u,2v,u^2+v^2-1).$ Для произвольного радиуса $R$ появляются соответствующие множители; метрический фактор ниже даётся для произвольного $R$.
- Метрический фактор (пуллбэк сферической метрики на плоскость): в плоских координатах $(u,v)$ с $r^2=u^2+v^2$ $d{s}^2=(\frac{2R^2}{R^2+r^2}{)}^2(d{u}^2+d{v}^2).$ Отсюда видно: проекция конформна (сохраняет углы), но не изометрична (растяжение зависит от $r$).
- Инварианты и свойства:
- Сохраняются углы (стереографическая проекция — конформное отображение).
- Круги на сфере переходят в обобщённые круги (в евклидовой плоскости: либо круги, либо прямые). Особенно: большие окружности на сфере переходят в либо окружности на плоскости, либо в прямые; те большие окружности, которые проходят через точку проекции $N$, переходят в прямые.
- Образы великих окружностей — именно все обобщённые круги в плоскости (т.е. множество кругов и прямых). Поэтому геодезические (большие окружности) отображаются в окружности/прямую, но длины и кривизна не сохраняются.
- В терминах комплексного анализа: стереографическая проекция идентифицирует сферу с расширенной комплексной плоскостью (Римановой сферой); под этой идентификацией преобразования Мёбиуса соответствуют конформным автоморфизмам сферы. Следовательно, кросс-отношение четырёх точек как инвариант Мёбиуса индуцируется через эту проекцию.
- Следствия:
- Любую геодезическую задают на плоскости как окружность или прямую с определённым расположением; геодезики, проходящие через точку проекции, становятся прямыми — поэтому в этих случаях локально совпадает с евклидовой прямой.
- Поскольку метрический фактор известен, можно переводить задачи о длинах и кривизнах на плоскость, решать их в евклидовой метрике с весом $\lambda (r)=\frac{2R^2}{R^2+r^2}$.
Коротко: большие окружности = геодезические; при стереографической проекции геодезические переходят в окружности или прямые, углы сохраняются, длины — нет; метрика на плоскости имеет явный конформичный множитель $(\frac{2R^2}{R^2+r^2}{)}^2$, а через идентификацию с Римановой сферой инвариантами становятся конформные структуры (углы, образы кругов, кросс-отношение через Мёбиус-преобразования).