Ниже — основные неравенства между сторонами, медианами и высотами треугольника, с краткими доказательствами и исследованием случаев равенства.
Обозначения: стороны $a=BC,b=CA,c=AB$; медианы $m_a,m_b,m_c$ (медиана из вершины $A,B,C$); высоты $h_a,h_b,h_c$ (опущенные на стороны $a,b,c$). Площадь треугольника обозначим $\Delta$.
1) Неравенства для сторон (треугольные нер-ва)
$$a<b+c,b<c+a,c<a+b.$$ Доказательство: классическое (сумма двух сторон больше третьей). Равенство невозможно для невырожденного треугольника; при пределе (вырожденный) $a=b+c$ и т.д.
2) Формула Апполония и оценки для медиан
Апполония:
$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$ Из неё получаются простые границы
$$\frac{|b-c|}{2}<m_a<\frac{b+c}{2},$$ и аналогично для $m_b,m_c$.
Доказательство: сравним $m_a^2$ с $(\frac{b+c}{2}{)}^2$ и с $(\frac{b-c}{2}{)}^2$:
$$(\frac{b+c}{2}{)}^2-m_a^2=\frac{a^2-(b-c{)}^2}{4}>0$$ (так как $a>|b-c|$ по неравенству треугольника), и
$$m_a^2-(\frac{b-c}{2}{)}^2=\frac{(b+c{)}^2-a^2}{4}>0,$$ поэтому указанные строгие неравенства (равенства возможны только в вырожденном случае $a=b+c$ или $a=|b-c|$).
Дополнительно: сумма квадратов медиан:
$$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).$$
3) Неравенства для высот и их связь со сторонами
Высота через площадь: $h_a=\frac{2\Delta }{a}$. Отсюда следует, что порядок высот обратен порядку соответствующих сторон:
$$a\ge b⟺h_a\le h_b,$$ а в общем, если $a\ge b\ge c$, то
$$h_a\le h_b\le h_c.$$ Доказательство: поскольку $\Delta$ одна и та же, $h_a=2\Delta /a$ монотонно убывает при увеличении $a$. Равенство $h_a=h_b$ происходит тогда и только тогда, когда $a=b$.
4) Сравнения медиан и высот (несколько полезных наблюдений)
- Так как $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ и $h_a=\frac{2\Delta }{a}$, прямого простого общепринятого одночленного сравнения $m_a$ и $h_a$ в общем виде нет: в разных треугольниках может быть $m_a>h_a$ или $m_a<h_a$. (Примеры: в остроугольном «близком к равнобедренному» обычно $m_a>h_a$; для очень вытянутого треугольника медиана может быть короче высоты.)
- Однако из оценок пункта 2 и формулы для высоты можно выводить частные неравенства, например
$$\frac{|b-c|}{2}<m_a<\frac{b+c}{2},h_a=\frac{2\Delta }{a}\le \frac{b+c}{2}$$ (последнее — грубая верхняя оценка, так как $\Delta \le \frac{1}{2}a\cdot \frac{b+c}{2}$).
5) Медианы образуют треугольник (треугольные неравенства для медиан)
Три медианы треугольника сами удовлетворяют неравенствам треугольника:
$$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b.$$ Краткая идея доказательства: медианы — это векторы, получаемые из векторов сторон; их можно располагать «голова-к-горе» (сумма векторов, соответствующих медианам, равна нулю в подходящем переносе), поэтому они образуют замкнутую ломаную из трёх звеньев, то есть стороны некоторого треугольника. (Равноточное доказательство даётся через векторные координаты или через геометрическую конструкцию с параллелограммом.)
Случаи равенства: все указанные строгие неравенства (для невырожденного треугольника) являются строгими; равенство возможно только в предельных (вырожденных) случаях либо при совпадении соответствующих сторон/высот/медиан (например, $a=b$ даёт $h_a=h_b$, $m_a=m_b$ при соответствующей симметрии).
Заключение (кратко):
- Стандартные треугольные неравенства для сторон: $a<b+c$ и циклически.
- Для медиан: Апполония и границы $\frac{|b-c|}{2}<m_a<\frac{b+c}{2}$; медианы удовлетворяют треугольным неравенствам.
- Для высот: $h_a=\frac{2\Delta }{a}$, поэтому порядок высот обратен порядку соответствующих сторон. Равенства в этих неравенствах возможны лишь при вырожденных или симметричных (равнобедренных/равносторонних) случаях.