В равнобедренный прямоугольный треугольник,каждый катет которого равен 4 дм,вписан квадрат так,что он имеет один общий угол с треугольником.Найдите периметр квадрата.Докажите.что если один из углов ромба прямой,то ромб является квадратом.
В равнобедренный прямоугольный треугольник,каждый катет которого равен 4 дм,вписан квадрат так,что он имеет один общий угол с треугольником.Найдите периметр квадрата.Докажите.что если один из углов ромба прямой,то ромб является квадратом.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Пусть ABCABCABC - прямоугольный равнобедренный треугольник, где AB=BC=4AB = BC = 4AB=BC=4 см. Рассмотрим квадрат, вписанный в этот треугольник. Обозначим сторону квадрата через xxx см.
Так как треугольник ABCABCABC равнобедренный, то ∠A=∠B=45∘\angle A = \angle B = 45^\circ∠A=∠B=45∘. Также, так как квадрат вписан в треугольник, то угол, образованный катетом и гипотенузой треугольника и стороной квадрата, одинаковый. Обозначим его как α\alphaα.
Так как угол ∠A\angle A∠A равен 45∘45^\circ45∘, а угол α\alphaα равен 180∘−45∘2=67.5∘\frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67.5^\circ2180∘−45∘ =67.5∘, то угол между катетом и гипотенузой равен 67.5∘67.5^\circ67.5∘.
Из этого следует, что угол между гипотенузой и стороной квадрата равен 67.5∘67.5^\circ67.5∘.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABDABDABD, где DDD - середина гипотенузы ACACAC. Так как треугольник ABDABDABD равнобедренный, то угол ∠ADB\angle ADB∠ADB равен 45∘45^\circ45∘. Также, угол ∠DAB\angle DAB∠DAB равен 67.5∘67.5^\circ67.5∘.
Из этого следует, что угол ∠DBA\angle DBA∠DBA равен 67.5∘67.5^\circ67.5∘ и треугольник ABDABDABD также является равнобедренным.
Таким образом, мы доказали, что сторона квадрата равна 4 см, и периметр квадрата равен 4⋅4=164 \cdot 4 = 164⋅4=16 см.
Пусть дан ромб ABCDABCDABCD, у которого один из углов прямой. Обозначим стороны ромба через aaa и диагонали через d1d_1d1 и d2d_2d2 .
Так как у ромба прямой угол, то диагонали d1d_1d1 и d2d_2d2 будут перпендикулярны между собой. Пусть угол между диагоналями равен α\alphaα.
Так как угол A=90∘A = 90^\circA=90∘, то угол ∠ADC=90∘−α\angle ADC = 90^\circ - \alpha∠ADC=90∘−α.
Так как ромб ABCDABCDABCD - ромб, то AB=BC=CD=AD=aAB = BC = CD = AD = aAB=BC=CD=AD=a. Также, так как у ромба диагонали перпендикулярны, то AC=BD=d12+d22=a⋅2AC = BD = \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = a \cdot \sqrt{2}AC=BD=d12 +d22 =a⋅2 .
Рассмотрим треугольник ACDACDACD. Так как в нем угол ∠ADC=90∘−α\angle ADC = 90^\circ - \alpha∠ADC=90∘−α и стороны AC=a⋅2AC = a \cdot \sqrt{2}AC=a⋅2 и AD=aAD = aAD=a, то он является прямоугольным. Также, так как у ромба угол A=90∘A = 90^\circA=90∘, то угол ∠ACD=90∘−(90∘−α)=α\angle ACD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha∠ACD=90∘−(90∘−α)=α.
Таким образом, в треугольнике ACDACDACD углы при основании равны, что означает, что он равнобедренный. Значит, стороны AC=ADAC = ADAC=AD равны между собой. Из этого следует, что ромб ABCDABCDABCD является квадратом.
Таким образом, если один из углов ромба прямой, то ромб является квадратом.