Уточнение понятия «заполнить». Под «заполнить тело шарами радиуса $r$ без пустот» будем понимать следующее стандартное требование: существует семейство (конечных или счётных) замкнутых шаров радиуса $r$, $\{B_i\}$, таких что их объединение совпадает с данным телом $T$,
$$T=\bigcup _i{B}_i.$$ (Варианты: можно требовать непересекающихся по внутренностям шаров — разбиение; можно разрешить перекрытия — покрытие. Дальше приведу результаты для общего покрытия и для конечного покры­тия/разбиения.)
Пусть тело $T$ получается вращением плоской области (меридионального среза) $M$ вокруг оси $O$ (возьмём ось $z$). Рассмотрим необходимые и достаточные условия для покрытия $T$ шариками радиуса $r$.
1) Необходимое условие для конечного покрытия равными шарами.
- Если коллекция шаров $\{B_1,\dots ,B_n\}$ конечна и их объединение даёт вращательно-симметричное тело $T$, то множества центров шаров должны быть инвариантны относительно поворотов вокруг оси $O$. но конечное множество инвариантно относительно непрерывной группы поворотов возможно только если все центры лежат на оси $O$. Формально: если центр $c$ не лежит на $O$, то поворот $c$ вокруг $O$ порождает непрерывное окружение центров, чего не может быть в конечном наборе. Следовательно при конечном покрытии все центры на оси $O$.
2) Следствие для меридионального среза.
- Пересечение каждого шара центра на оси с меридиональной плоскостью (плоскостью, содержащей ось) даёт круг радиуса $r$, центр которого лежит на оси. Значит меридиональная область $M$ должна представляться объединением кругов радиуса $r$, центры которых лежат на оси:
$$M=\bigcup _{j}D((0,z_j),r),$$ где $D((0,z_j),r)$ — круг в меридиональной плоскости с центром $(0,z_j)$.
- Следовательно граница $M$ (а значит и образующая профиль $T$) состоит из дуг окружностей радиуса $r$, центры которых лежат на оси $O$ (в точностях — из соответствующих полу- или кусочных дуг, возможно касательных друг к другу).
3) Достаточное условие.
- Если меридиональная область $M$ представима как объединение кругов радиуса $r$ с центрами на оси, то вращение их вокруг оси даёт семейство сфер радиуса $r$ с центрами на оси, и их объединение даёт ровно $T$. Итак это условие является достаточным.
Итого для конечного (и вообще для точного) покрытия/разбиения равными шарами радиуса $r$ имеем критерий: меридиональная профильная фигура должна быть объединением кругов радиуса $r$ с центрами на оси. Эквивалентно: профильный контур состоит из дуг окружностей радиуса $r$ с центрами на оси (и, при требовании непересечения по внутренностям, центры должны быть расположены на оси на расстоянии не менее $2r$ друг от друга).
4) Комментарии о бесконечных покрытиях и приближениях.
- Если разрешить бесконечные (счётные) семейства шаров, центры могут скапливаться; тогда условие «все центры на оси» остаётся верным для того, чтобы обеспечить ротационную симметрию (иначе понадобились бы бесконечно многие эквиварианты при вращении). В этом случае меридиональная область должна быть объединением кругов радиуса $r$ с центрами на оси, возможно счётным числом; такие объединения могут описывать более сложные профили (например, предел цепочки касающихся кругов).
5) Вывод (кратко).
- Необходимое и достаточное условие (для точного покрытия равными шарами радиуса $r$) звучит так: меридиональная фигура должна быть объединением кругов радиуса $r$ с центрами на оси вращения. Геометрически это эквивалентно тому, что профиль поверхности тела — это кусочно-дуговая кривая, состоящая из дуг окружностей радиуса $r$ с центрами на оси (с дополнительным условием о расстояниях между центрами $\ge 2r$, если требуется разбиение без перекрытий).