Кратко — основные факты, формулы и контрпримеры.
Определение и эквивалентные формулы
- Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ (обозначим $\phi =\angle (\alpha ,\beta )$) определяется как острый угол между их нормалями: если нормали ${\mathbf{n}}_{\alpha },{\mathbf{n}}_{\beta }$, то
$$\phi =\arccos \frac{|{\mathbf{n}}_{\alpha }\cdot {\mathbf{n}}_{\beta }|}{\Vert {\mathbf{n}}_{\alpha }\Vert \Vert {\mathbf{n}}_{\beta }\Vert }.$$ Аналогично, если уравнения плоскостей $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$, то
$$\phi =\arccos \frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.$$
- Эквивалентное геометрическое описание: если $\ell =\alpha \cap \beta$, то взять любые прямые $a\subset \alpha$ и $b\subset \beta$, которые обе перпендикулярны $\ell$ (то есть пересечения с плоскостью, проходящей через $\ell$ и перпендикулярной ему). Тогда
$$\angle (a,b)=\angle (\alpha ,\beta )=\phi .$$
Угол между двумя произвольными прямыми $u$ и $v$ задаётся по направляющим векторам $\mathbf{u},\mathbf{v}$:
$$\theta =\arccos \frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert }.$$
Общие правила и наблюдения
- Сильное утверждение: существуют в каждой плоскости направления (конкретно — прямые, перпендикулярные линии пересечения), для которых угол между ними равен углу между плоскостями. То есть угол между плоскостями достигается (и равен) углу между специальных пар прямых.
- Для произвольных прямых $a\subset \alpha$, $b\subset \beta$ нет фиксированной связи: их угол может быть меньше, равен или больше $\phi$ (в пределах $[0,\frac{\pi }{2}]$). Единственной гарантией является то, что минимально возможный угол между прямой из $\alpha$ и прямой из $\beta$ равен $\phi$ (эту минимальность достигают упомянутые перпендикулярные $\ell$ прямые).
Контрпримеры (частные случаи)
1) Параллельные плоскости. Если $\alpha \parallel \beta$, то $\phi =0$. Но в этих плоскостях можно взять непараллельные прямые — их угол может быть любой: пример — $\alpha :z=0,\beta :z=1$. В $\alpha$ линия $a$ вдоль оси $x$ (направление $(1,0,0)$), в $\beta$ линия $b$ под углом $30^{\circ }$ к оси $x$ (направление $(\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ },0)=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)$). Тогда
$$\angle (a,b)=30^{\circ }\ne \angle (\alpha ,\beta )=0.$$
2) Перпендикулярные плоскости. Пусть $\alpha$ — $xy$-плоскость, $\beta$ — $xz$-плоскость, тогда $\phi =90^{\circ }$. Но в обеих плоскостях лежит ось $x$ (направление $(1,0,0)$), т.е. можно выбрать $a=b$ и получить $\angle (a,b)=0$. Следовательно угол между плоскостями не определяет угол любых пар прямых в них.
3) Пересекающиеся плоскости с углом $\phi$. Можно выбрать:
- прямые по линии пересечения $\ell$ — тогда $\angle =0<\phi$;
- прямые, перпендикулярные $\ell$ в каждой плоскости — тогда $\angle =\phi$;
- вращая одну из прямых вокруг точки пересечения (в своей плоскости) угол между ними изменяется непрерывно от $0$ до $\frac{\pi }{2}$, т.е. может принимать любые значения независимо от $\phi$.
Итог (коротко)
- Единственное строгое тождество: угол между плоскостями равен углу между их нормалями и равен углу между парами прямых в плоскостях, которые обе перпендикулярны линии пересечения.
- Для произвольных прямых в данных плоскостях никакого однозначного соотношения с углом между плоскостями нет — возможны все варианты; контрпримеры: параллельные плоскости с ненулевым углом между выбранными прямыми, перпендикулярные плоскости с параллельными прямыми и т. п.