Ответ: при фиксированном периметре $P$ площадь треугольника максимальна для равностороннего треугольника (сторона $s=\frac{P}{3}$), причём
$$S_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{36}{P}^2.$$
Аналитическое доказательство (через формулу Герона и неравенство AM–GM). Пусть полупериметр $p=\frac{P}{2}$, стороны $a,b,c$. По Герону
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$ При фиксированном $p$ максимизируем произведение $(p-a)(p-b)(p-c)$. По AM–GM
$$(p-a)(p-b)(p-c)\le (\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}{)}^3=(\frac{p}{3}{)}^3,$$ равенство при $p-a=p-b=p-c$, т.е. $a=b=c=\frac{P}{3}$. Тогда
$$S_{\max }=\sqrt{p(\frac{p}{3}{)}^3}=\frac{\sqrt{3}}{9}{p}^2=\frac{\sqrt{3}}{36}{P}^2.$$
Геометрическое объяснение. Для фиксированной базы $a$ и фиксированной суммы других двух сторон $b+c$ высота относительно базы максимальна, когда треугольник симметричен (т.е. $b=c$), поэтому среди треугольников с данным периметром оптимальная конфигурация должна быть одновременно «симметрична» по всем сторонам — следовательно, равносторонняя. Это также согласуется с общим утверждением: среди n‑угольников с данным периметром максимальную площадь имеет правильный n‑угольник; для $n=3$ — равносторонний треугольник.