Кратко: необходимое и достаточное условие — суммы противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^{\circ }$ (в радианах $\pi$). Остальные ограничения — углы должны быть некратны $0,\pi$ и диагональ совместима с заданным углом в вершине (чтобы можно было построить окружность).
Доказательство и конструкция.
1) Необходимость. Если четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то противоположные углы дополняют друг друга:
$$\angle DAB+\angle BCD=\pi .$$ Это общеизвестное свойство (сумма вписанных углов, опирающихся на одну дугу, даёт вместе полную дугу $2\pi$, делённую на $2$).
2) Достаточность (конструкция при заданных трёх углах $A=\angle DAB,B=\angle ABC,C=\angle BCD$ и известной диагонали $AC$). Пусть задано число $B\in (0,\pi )$ и отрезок $AC$ длины $|AC|$. Постройте окружность, на которой хорда $AC$ будет давать вписанный угол $B$. Из отношения хорды и радиуса имеем
$$|AC|=2R\sin B\Rightarrow R=\frac{|AC|}{2\sin B}.$$ Если $\sin B=0$ — вырождение; для $0<B<\pi$ радиус положителен и такая окружность существует (выполняется единственность радиуса; центр лежит на перпендикуляре к $AC$ в его середине, в двух симметричных положениях — берём нужное по стороне).
На этой окружности любой пункт $X$ на одной из дуг $AC$ даёт вписанный угол $\angle AXC=B$. Значит можно поставить точку $B$ на одной дуге так, чтобы $\angle ABC=B$. Точку $D$ берут на противоположной дуге: тогда $\angle ADC=\pi -B$ и в сумме $\angle ABC+\angle ADC=\pi$, что согласуется с вписанностью. Теперь остаётся обеспечить заданные значения $A$ и $C$. На построенной окружности угол в вершине $A$ равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $BD$; при движении $D$ по дуге величина этого угла непрерывно изменяется в диапазоне $(0,\pi )$. Так можно подобрать положение $D$ (единственное с учётом симметрии) чтобы вписанный угол в $A$ стал равен заданному $A$; тогда автоматически для вершины $C$ получится $C=\pi -A$, и это должно совпадать с заданным $C$. Таким образом достаточным условием достижения всех трёх заданных углов вместе с диагональю $AC$ является требование
$$A+C=\pi$$ (и $0<B<\pi$, $0<A,C<\pi$).
Замечания и обобщение.
- Если заданы три угла и диагональ между двумя известных вершин, то есть единственная (с учётом симметрии относительно середины $AC$) вписанная конфигурация, когда $A+C=\pi$ и $B$ не вырожден.
- Если $A+C\ne \pi$, никакая позиция четвёртой точки не даст вписанности (не выполняется обязательное условие суммы противоположных углов).
- Аналогично можно заменить диагональ $AC$ любой известной хордой: для заданного вписанного угла $\beta$ и длины хорды $h$ радиус должен удовлетворять $h=2R\sin \beta$; это единственное требование совместимости.
Вывод: при заданных трёх углах и диагонали $AC$ четыре точки образуют вписанный четырёхугольник тогда и только тогда, когда
$$A+C=\pi$$ и угол в вершине, стоящей на одной дуге $AC$, не вырожден ($0<B<\pi$); тогда окружность с радиусом $R=\frac{|AC|}{2\sin B}$ даёт требуемую конструкцию (единственную с учётом зеркальной симметрии).