Кратко сформулирую исследовательские вопросы (по областям) и предложу модели учебных задач с указанием используемых геометрических методов и ключевых формул.
Исследовательские вопросы
- Компьютерная графика
- Как минимизировать визуальные артефакты при динамической тесселяции сложных поверхностей (адаптивный LOD) с учётом геометрии поверхности?
- Как эффективно восстанавливать геометрию сцены из многокамерных съёмок с учётом неточностей калибровки и шума?
- Какие методы геометрической компрессии (Delaunay/Voronoi, спектральные представления) дают наилучший компромисс точность/размер для моделей AR/VR?
- Робототехника
- Как геометрические представления ориентации (кватернионы, матрицы, ось-угол) влияют на устойчивость и быстродействие локализации и управления?
- Как строить корректные и быстрые алгоритмы планирования траекторий в непрерывном конфигурационном пространстве с учётом ограничений столкновений и динамики?
- Как улучшить точность SLAM через геометрические регуляризации (например, сглаживание по поверхности / привязка к картографическим признакам)?
- Картография и геоинформатика
- Какие проекции карт минимизируют искажения для задач навигации/аналитики на средних масштабах? Как выбирать проекцию автоматически по задаче?
- Как эффективно аппроксимировать геодезические (коротчайшие) маршруты на рельефных поверхностях с учётом высотных данных?
- Как геометрические структуры (триангуляции, контуры, скелеты) помогают в анализе пространственных данных (плотность, сети, зональная сегментация)?
Модели задач для студентов (демонстрационные, с геометрическим содержанием)
1) Реконструкция сцены из двух камер (структура из движения)
- Задача: по паре изображений восстановить 3D-точки и относительную позу камер.
- Методы: фундаментальная матрица $F$, разложение $E=K_2^{\top }F{K}_1$, восстановление позиции через разложение сингулярных значений, триангуляция.
- Ключевые формулы: эпиполярное уравнение $x_2^{\top }F{x}_1=0$; проекция $x=K[R\mid t]X$.
- Критерий: средняя репроекционная ошибка $\frac{1}{N}\sum \Vert x_i-{\hat{x}}_i\Vert .$
2) ICP для сшивки облаков точек
- Задача: сопоставить два облака точек, найти оптимальный жёсткий трансформ $R,t$.
- Методы: итеративное ближайшего соседа + оптимизация по наименьшим квадратам.
- Формула оптимизации: ${\min }_{R,t}{\sum }_i\Vert R{p}_i+t-q_i{\Vert }^2$.
- Оценка: среднее расстояние после выравнивания, чувствительность к шуму и выбросам.
3) Планирование траектории робота в плоскости с препятствиями (RRT/PRM и сглаживание)
- Задача: найти кратчайшую допустимую траекторию в конфигурационном пространстве, затем минимизировать кривизну.
- Методы: случайные графы (RRT, PRM), вычисление видимости, сплайны для сглаживания (квадратичные/кубатические).
- Геометрические критерии: длина пути, ограничение радиуса кривизны $\kappa (s)\le {\kappa }_{\max }$.
- Оценка: длина, число пересечений с препятствиями, гладкость (интеграл квадратов кривизны).
4) Проекции карт и визуализация искажений
- Задача: реализовать несколько проекций (Меркатор, Ламберта, Азимутальная равноплощадная) и оценить искажения углов/площадей на тестовой сетке.
- Формулы: преобразования между геодезическими координатами $(\varphi ,\lambda )$ и плоской картой; мера искажения Картана или фактор масштабирования $k(\varphi ,\lambda )$.
- Оценка: относительная ошибка площади и углов для заданных регионов.
5) Дискретные геодезические на меше (Fast Marching / Dijkstra на треугольной сетке)
- Задача: найти кратчайший путь по поверхности меша между двумя вершинами.
- Методы: Dijkstra для графа ребер, Fast Marching для точной аппроксимации по поверхностям.
- Критерий: длина пути; сравнение графовой аппроксимации и непрерывного приближения.
6) Управление ориентацией: стабилизация движений с кватернионами
- Задача: реализовать контроллер поворота для 3D объекта, избежать сингулярностей и нежелательной интерполяции.
- Методы: кватернионы $q$, SLERP для интерполяции, ошибка ориентации через умножение кватернионов $q_e=q_d\otimes q^{-1}$.
- Формула интерполяции: $\mathrm{SLERP}(q_0,q_1,t)=\frac{\sin ((1-t)\theta )}{\sin \theta }{q}_0+\frac{\sin (t\theta )}{\sin \theta }{q}_1$, где $\cos \theta =q_0\cdot q_1$.
- Оценка: ошибка ориентации во времени, отсутствие скачков при $\theta \to \pi$.
7) Сегментация при помощи Voronoi/Delaunay и вычисление скелета
- Задача: по набору точек построить поверхность приближения, вычислить Voronoi-скелет для выделения зон влияния.
- Методы: Delaunay-триангуляция, вычисление центров вписанных окружностей, алгоритмы удаления шума.
- Оценка: точность аппроксимации, стабильность скелета при шуме.
8) Pose-graph оптимизация для SLAM (учебная версия)
- Задача: по заданным относительным измерениям $z_{ij}$ восстановить оптимальные позы $x_i$.
- Модель задачи: минимизация ошибкoй функции
${\min }_x{\sum }_{(i,j)}\Vert z_{ij}\ominus (x_i^{-1}\circ x_j){\Vert }_{{\Sigma }_{ij}}^2.$ - Методы: линейзация (Gauss-Newton), представления SE(2)/SE(3).
- Оценка: суммарная ошибочная функция, разница с опорной траекторией.
Рекомендации по выполнению задач
- Сформулируйте чёткие метрики качества (репроекционная ошибка, длина пути, среднеквадратичная ошибка).
- Начинайте с простых случаев (плоская геометрия, шум без выбросов), потом добавляйте реальности (шум, выбросы, несоответствия).
- Включайте визуализацию (проекции точек/пути/карт) для интуитивной оценки.
Если нужно, могу привести конкретный набор входных данных и псевдокод для одной выбранной задачи.