Возьмём в остроугольном треугольнике $ABC$ три получаемых треугольника:
- медиальный $M_a{M}_b{M}_c$ (вершины — середины сторон $BC,CA,AB$);
- орфический (ортовый, «ортовый») $A_1{B}_1{C}_1$ (ступени высот — основания высот на сторонах);
- контактный (касательный, интуач) $T_a{T}_b{T}_c$ (точки касания вписанной окружности со сторонами).
Строго доказуемые отношения и факты (кратко и точно):
1) Медиальный треугольник.
- $M_a{M}_b{M}_c$ гомотетичен $ABC$ с центром в центре масс (центроиде) $G$ и коэффициентом $-\frac{1}{2}$:
$$G\text{— центр гомотетии}ABC\mapsto M_a{M}_b{M}_c,k=-\frac{1}{2}.$$ Следовательно $M_a{M}_b{M}_c\sim ABC$ (углы одинаковы).
2) Орфический (ортовый) треугольник.
- Это педальная треугольник ортoцентра $H$. Углы ортового треугольника равны
$$\angle A_1=180^{\circ }-2\angle A,\angle B_1=180^{\circ }-2\angle B,\angle C_1=180^{\circ }-2\angle C.$$ - Его окружность совпадает с девятипунктовой окружностью (nine‑point circle) с центром $N$. На этой же окружности лежит и медиальный треугольник.
- В общем случае $A_1{B}_1{C}_1$ не подобен $ABC$ и не гомотетичен ему; подобие случается только в вырожденном симметрическом случае (см. пункт 5).
3) Контактный (интуач) треугольник.
- Это педальная треугольник инцентра $I$. Углы контакного треугольника:
$$\angle T_a=90^{\circ }-\frac{\angle A}{2},\angle T_b=90^{\circ }-\frac{\angle B}{2},\angle T_c=90^{\circ }-\frac{\angle C}{2}.$$ - Контактный треугольник вписан в вписанную окружность с центром $I$. В общем случае он не подобен ни $ABC$, ни ортовому, ни медиальному.
4) Отношения между этими треугольниками.
- Медиальный и ортовый треугольники имеют одну и ту же окружность (девятипунктовую), следовательно для любого соответствия вершин существует спиральная подобие (spiral similarity) между ними, но глобальной гомотетии/подобия в общем нет.
- Контактный треугольник имеет другую естественную окружность (вписанную), поэтому общих гомотетий с медиальным или ортовым в общем нет.
- Центр гомотетии, переводящий описанную окружность $(ABC)$ в девятипунктовую — это $H$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ (гомотетия образует на девятипунктовой окружности точки середины отрезков $AH,BH,CH$).
5) Единственные случаи более сильных совпадений.
- Все перечисленные треугольники (медиальный, орфический, контактный и исходный $ABC$) становятся взаимно подобны/гомотетичны только в треугольнике с $\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ }$ (равностороннем). Это легко увидеть приравниванием соответствующих углов: например требование $180^{\circ }-2\angle A=\angle A$ даёт $\angle A=60^{\circ }$; аналогично для контактного: $90^{\circ }-\frac{\angle A}{2}=\angle A\Rightarrow \angle A=60^{\circ }$.
Короткая сводка:
- Единственная общая строгая гомотетия всегда: $ABC\mapsto M_a{M}_b{M}_c$ с центром $G$ и коэффициентом $-\frac{1}{2}$.
- Медиальный и орфический треугольники лежат на одной девятипунктовой окружности (общий центр $N$), но в общем не подобны.
- Контактный треугольник — педальная треугольник инцентра, имеет углы $90^{\circ }-\frac{\angle \cdot }{2}$ и в общем не гомотетичен и не подобен остальным, кроме случая равностороннего треугольника.