Пусть A и B — фиксированные точки, $d=|AB|$. Рассмотрим множество точек $P$ такие, что разность расстояний до фокусов постоянна. Обозначим эту постоянную через $k$ (можно считать $k\ge 0$); при необходимости отдельно рассмотрим знак разности. Все случаи:
1) Невозможный случай: $k>d$.
По неравенству треугольника для любых $P$ выполнено $||PA|-|PB||\le |AB|=d$. Следовательно при $k>d$ точек не существует.
2) Случай $k=d$.
Полагая координаты $A=(-c,0),B=(c,0)$ (тогда $d=2c$) и $k=2c$, условие $|PA-PB|=2c$ даёт после преобразований единственное решение $y=0,|x|\ge c$. Геометрически это те точки на прямой $AB$, которые лежат вне отрезка $AB$ (два луча, исходящие из $A$ и $B$ в противоположные стороны). Действительно, только для таких коллинеарных точек разность расстояний достигает максимума $d$.
3) Случай $k=0$.
Условие $PA=PB$ эквивалентно принадлежности перпендикулярному биссектрису отрезка $AB$ (прямая, проходящая через середину $AB$ и перпендикулярная ему).
4) Случай $0<k<d$. (Основной: гипербола.)
Пусть опять $A=(-c,0),B=(c,0)$ и положим $k=2a$ ($0<a<c$). Условие
∣(x+c)2+y2−(x−c)2+y2∣=2a \bigl|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\bigr|=2a
(x+c)2+y2 −(x−c)2+y2 =2a соответствует паре уравнений со знаком $\pm$. Возьмём знак $+$ (для $-$ аналогично меняются ветви). Изолируем корень и дважды возведём в квадрат:
$$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$$ $$(x+c{)}^2+y^2=(2a{)}^2+4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2.$$ Сокращая и выражая корень, затем снова возводя в квадрат, получаем
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,b^2=c^2-a^2.$$ Это уравнение стандартной гиперболы с фокусами в точках $A,B$. Знак в исходном равенстве выбирает соответствующую ветвь; условие с модулем $|PA-PB|=2a$ даёт обе ветви симметрично относительно средней оси.
Краткие геометрические комментарии:
- Определение гиперболы: множество точек, для которых абсолютная разность расстояний до двух фокусных точек постоянна (равна $2a$) — именно гипербола с параметром $a$ и фокусным расстоянием $2c$.
- При $2a=2c$ гипербола вырождается в две коллинеарные полупрямые (asymptotic case), при $2a>2c$ решений нет.
- Если рассматривается неподписанная разность ($PA-PB=$ заданное число с учётом знака), то каждый знак соответствует одной ветви гиперболы (или одному лучу/одно прямому в вырожденных случаях).
Таким образом, все возможные геометрические места: пустое множество ($k>d$), две луча на прямой $AB$ ($k=d$), перпендикулярный биссектор ($k=0$), и гипербола с фокусами $A,B$ ($0<k<d$); для подписанной разности получаем отдельные ветви гиперболы.