Формулировка. Пусть $A_1{A}_2\dots A_n$ — выпуклый $n$-угольник. Разобьём его диагоналями из вершины $A_1$ на треугольники $T_k=A_1{A}_k{A}_{k+1}$, $k=2,\dots ,n-1$. Обозначим стороны треугольника $T_k$ через
$$a_k=|A_1{A}_k|,b_k=|A_k{A}_{k+1}|,c_k=|A_{k+1}{A}_1|,$$ и полупериметр $p_k=\frac{1}{2}(a_k+b_k+c_k)$. Тогда площадь всего многоугольника равна сумме площадей треугольников, каждая из которых выражается по формуле Герона:
$$S=\sum _{k=2}^{n-1}{S}_k=\sum _{k=2}^{n-1}\sqrt{p_k(p_k-a_k)(p_k-b_k)(p_k-c_k)}.$$
Доказательство (коротко). Поскольку многоугольник выпуклый, все диагонали $A_1{A}_k$ лежат внутри и треугольники $T_k$ покровительственно разрезают многоугольник без наложений и пропусков, откуда
$$S=\sum _{k=2}^{n-1}S(T_k).$$ Для каждого треугольника $T_k$ применима формула Герона, что даёт указанное выражение. QED.
Ограничения и зависимости от выбора диагоналей.
- Формула верна для любого разбиения на непересекающиеся треугольники; при разбиении из одной вершины всегда получаем ровно $n-2$ треугольников и $n-3$ диагоналей.
- Практическое ограничение: для вычисления каждого $S_k$ по Герону нужны численные значения всех трёх сторон $a_k,b_k,c_k$. Хотя $b_k$ — это сторона исходного многоугольника, длины $a_k$ и $c_k$ обычно являются диагоналями и не определяются только длинами сторон многоугольника. Поэтому, если заданы лишь длины сторон (без углов или координат), площадь в общем случае не определяется однозначно и формула не даёт численного значения. Простой пример: для четырёх заданных сторон (нециклического четырёхугольника) площадь зависит от угла между сторонами; то есть одной информации о сторонах недостаточно.
- Специальные случаи, когда площадь определяется только длинами сторон: треугольник (тривиально) и некоторые классы многоугольников (например, циклический четырёхугольник — формула Брахмагупты). Для общих циклических $n$-угольников площадь может быть восстановлена по сторонам, но явных простых формул для больших $n$ не бывает; чаще требуется численное решение для центральных углов.
Рекомендации по оптимальному выбору разбиения для вычислений.
- Если известны координаты вершин, то лучше напрямую вычислять площади треугольников через векторный (псевдоскалярный) продукт:
S(Tk)=12∣ A1Ak⃗×A1Ak+1⃗ ∣, S(T_k)=\tfrac12\bigl|\,\vec{A_1A_k}\times\vec{A_1A_{k+1}}\,\bigr|,
S(Tk )=21 A1 Ak ×A1 Ak+1 , и суммировать — это численно устойчивее и не требует явных длин диагоналей.
- Если заданы стороны и некоторые углы, выбирайте вершину $A_1$ так, чтобы требуемые диагонали легко выражались через известные величины (например, с помощью теоремы косинусов). Чем меньше неизвестных диагоналей (или чем проще их вычислить), тем удобнее.
- Для численной устойчивости выбирайте разбиение, которое даёт «хорошие» (не слишком узкие) треугольники — по возможности избегайте длинных тонких треугольников, поскольку вычисление по Герону при сильно разном соотношении сторон может быть нестабильным (вынужденные вычитания в выражении под корнем). В практике часто применяют деление, близкое к Delaunay-триангуляции, или берут вершину, расположенную «внутри» по отношению к остальным, чтобы треугольники были более равномерны.
- Если известны только стороны, но многоугольник предположительно циклический, можно использовать алгоритм восстановления центральных углов и затем вычислить площади через радиус/центральные углы (численно).
Краткое резюме. Обобщение Герона даётся тривиально суммой площадей треугольников в выбранной триангуляции:
$$S=\sum _{k=2}^{n-1}\sqrt{p_k(p_k-a_k)(p_k-b_k)(p_k-c_k)}.$$ На практике ограничение состоит в том, что для вычисления нужны диагонали; при отсутствии дополнительной информации о углах или координатах площади не определяются только длинами сторон. Для вычислений предпочтительны разбиения, уменьшающие число или сложность вычисления диагоналей и дающие более «правильные» треугольники с точки зрения численной устойчивости.