Утверждение. Ортоцентр $H$ совпадает с центром описанной окружности $O$ тогда и только тогда, когда треугольник $ABC$ равносторонний.
Геометрическое доказательство.
1. Пусть $H=O$. Тогда через $O$ проходят высота из вершины $A$ и серединный перпендикуляр к стороне $BC$. Но две разные прямые через одну точку, перпендикулярные одной и той же прямой, совпадают, значит высота из $A$ является также серединным перпендикуляром к $BC$. Отсюда $AB=AC$. Аналогично получаем $BC=BA$ и $CA=CB$. Итого $a=b=c$ — треугольник равносторонний.
2. Обратное очевидно: в равностороннем треугольнике все центры (ортoцентр, центр описанной окружности и др.) совпадают, значит $H=O$.
Алгебраическое/тригонометрическое доказательство.
Используем формулу Ойлера для расстояния между центрами:
$$O{H}^2=R(R-2r),$$ где $R$ — радиус описанной, $r$ — вписанной окружности. Если $H=O$, то $OH=0$, значит $R(R-2r)=0$ и так как $R>0$, получаем $R=2r$. Из неравенства $R\ge 2r$ равенство достигается лишь для равностороннего треугольника, следовательно треугольник равносторонний. Эквивалентно, через тригонометрию можно получить
$$\cos A\cos B\cos C=\frac{1}{8},$$ и это даёт $\cos A=\cos B=\cos C=\frac{1}{2}\Rightarrow A=B=C=60^{\circ }$.
Следствия (геометрические и алгебраические).
- Все классические центры совпадают: $O=H=I=G=N$ (центр описанной, ортoцентр, вписанный центр, центр масс, центр девятиточечной окружности).
- Углы: $A=B=C=60^{\circ }$. Стороны: $a=b=c$.
- Радиусы: $R=2r$. Для стороны $a$ имеем $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$, $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$.
- Высоты являются медианами и биссектрисами; все медианы, высоты, биссектрисы и серединные перпендикуляры совпадают по направлениям.
- Площадь $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$. Координатно: можно выбрать центр в начале координат и вершины как угловые точки правильного треугольника (комплексно — кратные третьи корни единицы, умноженные на $R$).
- На прямой Эйлера расстояние $OH=0$, и вся «эйлерова» структура вырождается.
Таким образом условие $H=O$ эквивалентно равносторонности треугольника; это даёт сразу перечисленные геометрические и алгебраические следствия.