Коротко: осевая симметрия множества означает, что существует прямая $L$ (ось) такая, что для любой точки $P$ множества отражённая точка $P^{\prime }$ относительно $L$ тоже принадлежит множеству. Ниже — аналитические и геометрические критерии и связь с алгебраикой.
1) Формулировка для параметрической кривой
- Пусть кривая задана $t\mapsto (x(t),y(t))$. Ось $L$ задана уравнением $ax+by+c=0$. Симметрия относительно $L$ эквивалентна условию: для любого $t$ существует параметр $t^{\prime }$ такой, что отражение точки $(x(t),y(t))$ по $L$ равно $(x(t^{\prime }),y(t^{\prime }))$.
- Формула отражения по $ax+by+c=0$:
$$x^{\prime }=x-\frac{2a(ax+by+c)}{a^2+b^2},y^{\prime }=y-\frac{2b(ax+by+c)}{a^2+b^2}.$$ Требуется для всех $t$ существование $t^{\prime }$ с
$$x(t^{\prime })=x^{\prime },y(t^{\prime })=y^{\prime }.$$ Если параметризация биективна, это даёт явную involution $s:t\mapsto t^{\prime }$ с $s(s(t))=t$.
2) Частный случай: график функции $y=f(x)$
- Вертикальная ось $x=a$: симметрия $\iff f(2a-x)=f(x)$ для всех $x$ из области определения.
- Горизонтальная ось $y=b$: отражение даёт точки $(x,2b-f(x))$; чтобы это снова было графиком той же функции при тех же $x$, нужно $2b-f(x)=f(x)$, т.е. $f(x)\equiv b$ (только постоянная функция).
- Ось под углом $\theta$: сделать поворот координат на $-\theta$, получить условие вертикальной симметрии в новых координатах: если $(X,Y)$ — повёрнутые координаты, то $Y=f_{\theta }(X)$ и требуется $f_{\theta }(2A-X)=f_{\theta }(X)$ для некоторого $A$.
3) Геометрические признаки (практическая проверка)
- Для каждой пары симметричных точек $P,P^{\prime }$ средняя точка $M$ лежит на оси $L$, а вектор $P{P}^{\prime }$ перпендикулярен $L$. Следовательно, если удаётся сопоставить пары точек, то все их середины должны лежать на одной прямой и направления хорд $P{P}^{\prime }$ должны быть перпендикулярны этой прямой.
- Для непрерывной кривой можно искать семейство хорд, середины которых образуют прямую; это указывает на ось.
4) Связь с алгебраическими свойствами (для неявных и многочленов)
- Для неявного уравнения $F(x,y)=0$ симметрия относительно отражения $R$ (отражение как отображение координат) означает: если $F(x,y)=0$ то $F(R(x,y))=0$. Для многочлена это эквивалентно тому, что многочлен $F(R(x,y))$ аннулируется на том же множестве. Если кривая задана неприводимым полиномом, то обычно
$$F(R(x,y))=\lambda F(x,y)$$ для некоторой ненулевой константы $\lambda$. Это даёт конкретные симметрии в коэффициентах; например, симметрия относительно оси $y$ ($x\mapsto -x$) означает, что в многочлене встречаются только чётные степени $x$. Аналогично сдвиг на $x\mapsto 2a-x$ даёт условие парности относительно центра $a$.
- Для рациональных параметризаций симметрия обычно соответствует существованию рациональной инволюции $\varphi (t)$ такой, что
$$x(\varphi (t))={\text{Ref}}_x(x(t),y(t)),y(\varphi (t))={\text{Ref}}_y(x(t),y(t)),$$ т.е. замена параметра реализует отражение. Частые примеры: $\varphi (t)=\alpha -t$ или $\varphi (t)=1/t$.
5) Практическая процедура поиска оси
- Для графика: проверить уравнение вида $f(2a-x)=f(x)$ (перебор $a$ аналитически или численно).
- Для параметрической кривой: попытаться найти инволюцию $s$ по отношению к параметру или вычислить середины предполагаемых симметричных точек и построить лучшую прямую через них (метод наименьших квадратов) и проверить точное покрытие отражением.
- Для полиномиальной кривой: проверить инвариантность $F(R(x,y))$ и свести к линейным условиям на коэффициенты.
Итого: аналитически — существование отражения $R$ и соответствующей инволюции параметра; геометрически — все середины пар симметричных точек лежат на одной прямой и хорды перпендикулярны ей; алгебраически — инвариантность уравнения при замене координат, что даёт ограничения на коэффициенты (чётность степеней, определённые соотношения).