Коротко: «правильный (регулярный) n‑угольник» можно формализовать в нескольких неэквивалентных смыслах; требуемые аксиомы зависят от выбранного смысла. Ниже — определения, минимальные требования к аксиомам и важные частные случаи (аффинная/евклидова, проективная, конечная, сферическая/гиперболическая).
1) Варианты определения регулярности
- метрическое: все стороны равны и все углы равны (эквивалентно — существует изометрия поворота на $2\pi /n$, переводящая вершину в следующую).
- симметрическое: многоугольник инвариантен относительно циклической группы поворотов порядка $n$ (или диэдральной группы $D_n$). Это определение не требует числовых мер длины/углов, только группу симметрий.
- проективно‑конгруэнтное (на конусе): вершины — орбита точки под циклической подгруппой проектной группы, сохраняющей невырожденную конику (т.е. «правильный относительно коники»).
2) Какие аксиомы нужно сохранить
- Инцидентность и измеримость положения точек/отрезков — базовые аксиомы плоскости (чтобы говорить о многоугольнике).
- Для метрического/симметрического определения: иметь понятие конгруэнтности/изометрии и достаточно богатую группу изометрий, содержащую поворот порядка $n$. Формально достаточно гарантировать существование ориентационно‑сохраняющего линейного оператора порядка $n$ в группе автоморфизмов плоскости.
- Для проективного определения: наличие невырожденной коники и действующей на ней подходящей циклической подгруппы проектной группы; то есть базовое поле/структура должна обеспечить проективные автоморфизмы нужных порядков.
3) Поле‑ и групповые критерии (конкретно)
- Аффинная/евклидова модель через 2‑мерное векторное пространство над полем $F$: регулярный $n$-угольник можно получить как орбиту операции «умножение на $\zeta$», если в некотором расширении поля есть примитивный $n$-й корень единицы $\zeta$ и эта операция реализуется как линейный оператор на $F^2$. Частный удобный способ: задать вершины
$$v_k={\zeta }^k,k=0,\dots ,n-1,$$ (идентифицируя $F^2$ с $F(\zeta )$). Для метрики нужно ещё скалярное произведение, сохраняющееся этим оператором; в частности стандартный поворот с матрицей
$$R_{2\pi /n}=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi }{n}& -\sin \frac{2\pi }{n}\\ \sin \frac{2\pi }{n}& \cos \frac{2\pi }{n}\end{array}\right)$$ реализуем в модели тогда, когда $\cos \frac{2\pi }{n},\sin \frac{2\pi }{n}\in F$.
- Для евклидовой плоскости над $\mathbb{R}$ все $n$ возможны (группа вращений $SO(2)$ содержит элементы любого конечного порядка).
- В проективной плоскости над конечным полем $\mathrm{GF}(q)$ поведение жёстко алгебраизуется: непустая невырожденная коника содержит $q+1$ точек, и типично циклическая подгруппа, действующая на конике, имеет порядок делящий $q+1$. Следовательно для «правильного» $n$-угольника на конике обычно требуется
$$n\mid (q+1)$$ (или, более тонко, наличие в соответствующей группе проектных автоморфизмов элемента порядка $n$). Отсюда в конечной геометрии нельзя обеспечить все $n$.
- На сфере и в гиперболической плоскости: изометрические группы достаточно богаты — повороты любых конечных порядков существуют, поэтому регулярные $n$-угольники (в смысле симметрии) существуют для всех $n$, хотя метрические ограничения (углы/периметр) зависят от кривизны.
4) Что нужно изменить/что потерять
- Если сохраняете только инцидентные аксиомы (чисто проективная геометрия без коники/метрики), то «регулярность» в метрическом смысле не определяется; можно ввести проективный аналог (орбита на конике), но тогда нужны дополнительные аксиомы о существовании коники и автоморфизмов нужного порядка.
- В конечной геометрии придётся согласиться, что только те $n$, которые совместимы с размерностью/порядком поля (делят $q+1$ и т.п.), допустимы; чтобы получить все $n$ нужно перейти к бесконечной (и непрерывной) структуре с группой вращений, содержащей элементы любого порядка (например евклидова или сферическая плоскость над $\mathbb{R}$).
- Если требуется только симметрическое определение (наличие циклической симметрии), то аксиома, которую надо сохранить — «группа движений содержит элемент любого заданного конечного порядка»; это сильная группа‑гипотеза, эквивалентная непрерывности/изобилию изометрий.
5) Вывод (синтез)
- Чтобы гарантировать существование регулярного $n$-угольника для любого заданного $n$ в одной и той же геометрии, достаточно потребовать: (а) наличие метрической структуры с группой изометрий, содержащей вращение порядока $n$ для всякого $n$ (это выполняется, например, в классической евклидовой или сферической плоскости над $\mathbb{R}$); или (б) в проективной/аффинной формулировке — выбрать базовое поле/его расширение, содержащие примитивные $n$-тые корни единицы $\zeta$ для всех $n$ (что фактически требует бесконечного поля с подходящими корнями или перехода к $\mathbb{C}$).
- В конечных геометриях и в чисто проективных моделях без коники нельзя в общем обеспечить все $n$; вместо этого появляются арифметические ограничения (например $n\mid q+1$).
Если нужно, могу привести точные алгебраические утверждения для аффинной плоскости над полем $F$ (условия на наличие $\zeta$) или доказательство факта $n\mid q+1$ для коники в $PG(2,q)$.