Пусть заданы две плоскости
$${\pi }_1:L_1(x,y,z)=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0,{\pi }_2:L_2(x,y,z)=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0,$$ с нормалями $n_1=(a_1,b_1,c_1)$, $n_2=(a_2,b_2,c_2)$. Расстояние точки $P(x,y,z)$ до ${\pi }_i$ равно
$$\mathrm{dist}(P,{\pi }_i)=\frac{|L_i(x,y,z)|}{\Vert n_i\Vert },\Vert n_i\Vert =\sqrt{a_i^2+b_i^2+c_i^2}.$$ Условие равноудалённости даёт
∣L1∣∥n1∥=∣L2∣∥n2∥⟺∣L1∥n1∥∣=∣L2∥n2∥∣. \frac{|L_1|}{\|n_1\|}=\frac{|L_2|}{\|n_2\|}\quad\Longleftrightarrow\quad
\left|\frac{L_1}{\|n_1\|}\right|=\left|\frac{L_2}{\|n_2\|}\right|.
∥n1 ∥∣L1 ∣ =∥n2 ∥∣L2 ∣ ⟺ ∥n1 ∥L1 = ∥n2 ∥L2 . Убирая модули, получаем два линейных уравнения
$$\frac{L_1}{\Vert n_1\Vert }=\frac{L_2}{\Vert n_2\Vert }\text{и}\frac{L_1}{\Vert n_1\Vert }=-\frac{L_2}{\Vert n_2\Vert },$$ то есть геометрическое место — объединение решений этих уравнений. Каждый из них — плоскость (линейное уравнение), поэтому в общем случае множество равноудалённых точек — объединение двух плоскостей.
Характеристика в зависимости от расположения исходных плоскостей:
- Если ${\pi }_1$ и ${\pi }_2$ пересекаются (нормали не коллинеарны), то множество — две плоскости, задаваемые
$$(\frac{n_1}{\Vert n_1\Vert }\mp \frac{n_2}{\Vert n_2\Vert })\cdot r+(\frac{d_1}{\Vert n_1\Vert }\mp \frac{d_2}{\Vert n_2\Vert })=0,$$ где $r=(x,y,z)$. Нормали этих двух плоскостей пропорциональны вектору ${\hat{n}}_1\pm {\hat{n}}_2$ (где ${\hat{n}}_i=n_i/\Vert n_i\Vert$).
Эти плоскости — биссектрисы двугранного угла, образованного ${\pi }_1$ и ${\pi }_2$: одна биссектриса (со знаком +) — внутренняя (равные ориентированные расстояния), другая (со знаком −) — внешняя (расстояния равны по модулю, но противоположны по знаку).
- Если ${\pi }_1$ и ${\pi }_2$ параллельны (нормали пропорциональны), то условие сводится к
$$|n\cdot r+d_1|=|n\cdot r+d_2|.$$ Для разных параллельных плоскостей это даёт одну плоскость, параллельную данным и проходящую посередине:
$$n\cdot r=-\frac{d_1+d_2}{2}.$$ Если ${\pi }_1={\pi }_2$, то множество равноудалённых точек — вся эта общая плоскость.
Связь с симметриями:
- Нормали биссектрис пропорциональны ${\hat{n}}_1\pm {\hat{n}}_2$. Отражение относительно внутренней или внешней биссектрисы переводит одну исходную плоскость в другую: отражение в плоскости с единичным нормальным вектором $u$ действует на вектор- нормаль как $v\mapsto v-2(u\cdot v)u$; для $u$ вдоль ${\hat{n}}_1+{\hat{n}}_2$ это отображение несёт ${\hat{n}}_1$ в ${\hat{n}}_2$. Следовательно биссектрисы — геометрические оси (плоскости) симметрии, относительно которых ${\pi }_1$ и ${\pi }_2$ взаимно симметричны.
Итог: геометрическое место точек, равноудалённых от двух заданных плоскостей, — либо одна средняя параллельная плоскость (если исходные параллельны), либо объединение двух плоскостей — внутренних и внешних биссектрис двугранного угла (если пересекаются); эти биссектрисы являются плоскостями симметрии, переводящими одну плоскость в другую.