Площадь поверхности призмы вычисляется по формуле:

S = 2$S_{о}сн+S_{б}ок$,

где S_осн - площадь основания, S_бок - площадь боковой поверхности.

Дано, что сторона основания равна 12 см. Площадь основания правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле:

S_осн = a^2,

где a - длина стороны основания. Подставляя значения, получаем:

S_осн = 12^2 = 144 см^2.

С учетом того, что диагональ наклонена под углом 45° к плоскости основания, боковая поверхность призмы является параллелограммом. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

S_бок = a*h,

где a - длина стороны основания, h - высота параллелограмма. Так как угол наклона диагонали к плоскости основания равен 45°, то высота параллелограмма равна стороне основания, то есть h = a.

S_бок = a*a = a^2.

Таким образом, S_бок = 12^2 = 144 см^2.

Теперь подставим значения обеих площадей в формулу для площади поверхности:

S = 2$144+144$ = 2*288 = 576 см^2.

Ответ: площадь поверхности призмы равна 576 см^2.