Пусть заданы два угла $\alpha =\angle A_1{B}_1{C}_1$ и $\beta =\angle A_2{B}_2{C}_2$ и дан пункт $O$, в котором нужно построить угол равный сумме. Построение и комментарии.
Построение (последовательное копирование углов):
1. Проведите в $O$ произвольный луч $Ox$.
2. Скопируйте угол $\alpha =\angle A_1{B}_1{C}_1$ так, чтобы его одна сторона совпала с $Ox$. Обычный способ копирования: радиусом $r$ из $B_1$ проведите дугу, пересекающую стороны угла в точках $P,Q$; той же дугой (тем же $r$) из $O$ проведите дугу, получив пересечение с $Ox$ в $R$; измерив расстояние $PQ$ циркулем и отложив его от $R$ по дуге, получите точку $S$; луч $OS$ — вторая сторона скопированного угла. Обозначим полученный угол $\angle xOy=\alpha$.
3. Теперь, отталкиваясь от луча $Oy$, скопируйте угол $\beta =\angle A_2{B}_2{C}_2$ тем же способом (вместо $Ox$ берём $Oy$). Полученный луч $Oz$ даст угол $\angle yOz=\beta$.
4. Тогда искомый угол $\angle xOz$ равен $\alpha +\beta$.
Комментарии о выполнимости:
- Если допускаются рефлексные углы (т.е. угол между лучами может быть больше $180^{\circ }$), то конструкция всегда выполнима: последовательным копированием получается угол величиной $\alpha +\beta$ (по модулю $360^{\circ }$).
- Если под «углом» понимается невозвратный (неориентированный) угол в диапазоне $[0^{\circ },180^{\circ }]$, то конструкция выполнима тогда и только тогда, когда
$$\alpha +\beta \le 180^{\circ }.$$ При $\alpha +\beta =180^{\circ }$ получается развернутый угол (прямая), при $\alpha +\beta <180^{\circ }$ — обычный острый/тупой угол, а при $\alpha +\beta >180^{\circ }$ нельзя получить угол в диапазоне $[0^{\circ },180^{\circ }]$ (нужно допустить рефлексный вариант).
- Частные вырожденные случаи: $\alpha =0^{\circ }$ или $\beta =0^{\circ }$ тривиальны; $\alpha$ или $\beta$ равные $180^{\circ }$ дают развернутую сторону и тоже конструктивно осуществимы по описанному алгоритму.