Кратко сформулируем цель: угол между касательной в точке $A$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу $AB$ (теорема «касательная = угол в противолежащем секторе»).
Два способа доказательства и их различия.
1) Доказательство через центральные углы / симметрию дуг («анализ через центр»)
- Обозначим центр $O$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный, поэтому углы при вершинах $A$ и $B$ равны: $\angle OAB=\angle OBA$.
- Так как касательная в $A$ перпендикулярна радиусу $AO$, угол между касательной и хордой $AB$ равен $90^{\circ }-\angle OAB$.
- Из соотношения в равнобедренном треугольнике $\angle OAB=(180^{\circ }-\angle AOB)/2$. Следовательно
$$\text{угол(касательная,}AB)=90^{\circ }-\frac{180^{\circ }-\angle AOB}{2}=\frac{\angle AOB}{2}.$$ - Но $\frac{\angle AOB}{2}$ — это мера вписанного угла, опирающегося на ту же дугу $AB$, поэтому получаем требуемое равенство.
Предпосылки: наличие центра $O$, свойство $AO\perp$ касательной, и элементарные свойства равнобедренного треугольника; тут явно используется понятие центрального угла и половины его меры.
2) Доказательство через вписанные углы (через предельный переход / свойства вписанных углов)
- Возьмём произвольную точку $C$ на окружности на дуге, противоположной $A$. По теореме о вписанных углах $\angle ACB$ равен половине центрального угла $\angle AOB$: $\angle ACB=\frac{\angle AOB}{2}$.
- Показать, что угол между касательной в $A$ и хордой $AB$ равен $\angle ACB$. Это делают, рассматривая последовательность секант через $A$ и точки $D$ на дуге, стремящиеся к $A$: угол между секантой $AD$ и $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB$; при предельном переходе $D\to A$ секанта переходит в касательную, и соответствующие углы устремляются к углу между касательной и хордой, значит этот угол равен $\angle ACB$.
- Альтернативно доказывают непосредственно равенство через равенство дуг/параллельность предельных хорд.
Предпосылки: теорема о вписанном угле и (в случае предельного перехода) аргумент непрерывности/предела; нужно уметь вводить касательную как предел секант или иметь аксиому о касательной.
Тонкие различия и области применимости
- Зависимости и возможная круговая логика: центральный подход не использует теорему о вписанном угле явно (он выводит меру через $\angle AOB$), но требует свойства «радиус ⟂ касательной». Вписанный подход опирается на теорему о вписанных углах или на предельный аргумент; если вы в своей теории окружностей доказывали вписанную теорему, используя уже свойства касательной, то доказательства могут быть круговыми — нужно следить, какие утверждения приняты за аксиомы/леммы.
- Терминология и требуемая структура теории: метод через центр работает в чисто евклидовой планиметрии, где есть центр и понятие перпендикулярности радиуса и касательной; метод через вписанные углы удобен, если в вашей теории развиты понятия дуги/вписанных углов и предельные переходы (или вы уже доказали теорему о вписанных углах другим способом).
- Точность в конструкциях: доказательство через центр даёт явную алгебру углов (вычисление через $\angle AOB$), обычно короче и «алгебраичнее». Доказательство через вписанные углы более «синтетическое» и концептуальное (интерпретирует касательную как предельную секанту) и лучше сочетается с теоремами о вписанных углах и дугах.
- Области неприменимости: если в рассуждении отсутствует центр (например, в некоторой абстрактной окружности в метрическом или проективном контексте) или нет аксиомы о том, что касательная перпендикулярна радиусу, то центральный метод неприменим. Если же вы не принимаете предельные переходы/не хотите использовать теорему о вписанных углах как данность, второй метод может оказаться ненадёжным.
Вывод (кратко): оба подхода ведут к одному и тому же результату, но различаются предъявляемыми предпосылками: центральный — опирается на свойства центра и перпендикулярности радиуса касательной; вписанный/пределный — опирается на теорему о вписанных углах или на предел секант. При постролении строгой цепочки доказательств нужно выбирать тот набор лемм/аксиом, который не создаёт круговой логики.