Поставим начало координат в точке пересечения прямых и ось $Ox$ вдоль биссектрисы угла между ними; пусть $\alpha =\varphi /2$. Точки на прямых можно записать как
$$A=(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ),B=(b\cos \alpha ,-b\sin \alpha ).$$ Их середина
$$M=(\frac{a+b}{2}\cos \alpha ,\frac{a-b}{2}\sin \alpha )=(x,y),$$ следовательно $u=\frac{a+b}{2}=x/\cos \alpha ,v=\frac{a-b}{2}=y/\sin \alpha$. Длина отрезка $AB$ $$|AB{|}^2=(a-b{)}^2{\cos }^2\alpha +(a+b{)}^2{\sin }^2\alpha =4(v^2{\cos }^2\alpha +u^2{\sin }^2\alpha ).$$ Условие существования окружности радиуса $R$, проходящей через $A$ и $B$, эквивалентно $|AB|\le 2R$, то есть
$$v^2{\cos }^2\alpha +u^2{\sin }^2\alpha \le R^2.$$ Подставляя $u=x/\cos \alpha ,v=y/\sin \alpha$, получаем уравнение геометрического места (граница при равенстве):
$$x^2{\tan }^2\alpha +y^2{\cot }^2\alpha \le R^2,$$ или, заменив $\alpha =\varphi /2$,
$$\frac{x^2}{R^2{\cot }^2(\varphi /2)}+\frac{y^2}{R^2{\tan }^2(\varphi /2)}\le 1.$$
Итого: геометрическое место — эллипс с центром в точке пересечения прямых, осями по биссектрисам угла, полуосьми
$$a=R\cot \frac{\varphi }{2},b=R\tan \frac{\varphi }{2}.$$
Зависимость от $\varphi$: при $\varphi =\pi /2$ ($\alpha =\pi /4$) получается окружность радиуса $R$; при $\varphi \to 0$ эллипс сильно вытягивается вдоль биссектрисы (полуось $a\to \infty ,b\to 0$), при $\varphi \to \pi$ меняются роли осей (вытягивание в перпендикулярном направлении). Boundary case $\varphi =0$ или $\varphi =\pi$ — вырожденные предельные случаи.